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具有2pqr~2阶自同构群的有限群

作　者: 陈秀红
导　师: 钟祥贵
学　校: 广西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 有限群幂零群群阶群同构
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

自同构群方程Aut(X)≌G的解,即那些能充当有限群自同构群的有限群,近年来引起了众多群论专家的兴趣.关于这个问题,首先需要解决的是交换群作为有限群自同构群的问题,这是有希望完全解决的.其次需要研究对于一个给定的正整数n,满足自同构群方程|Aut(G)|=n的有限群G结构的问题.一般来说,这个问题的彻底解决是有趣但很困难的.对于n的某些情形,已有一些文献进行了研究,得到了许多有意义的结果.Iyer在1979年证明了满足自同构群方程Aut(X)≌G的解至多有有限个,对于方程|Aut(G)|=n也满足上述结论.1981年,Flannery和MacHale得到了|Aut(G)|= pn(n=1,2,3,4)及pq的有限群G的构造,并证明了没有满足自同构群阶为pn(n=5,6,7)的有限交换群,其中p为奇素数.1988年,Curran证明：对任意奇素数p,|Aut(G)|=pn(n=1,2,3,4,5)无解.随后,Flym给出了|Aut(G)|=25的全部解.陈贵云给出了自同构群的阶为p1p2…pn或pq2的有限群,其中p1,p2,…,pn及p,q分别为互异素数.李世荣完整地研究了|Aut(G)|=p2q2,23p或p3q的有限群,其中p,q为素数.钟祥贵得到了|Aut(G)|=2pq2(p>g>2)的全部解,杜妮解决了|Aut(G)|=4pq的情形,其中p,q为互异素数.本文讨论的是|Aut(G)|=2pqr2的情形.从G幂零和非幂零两个大方面着手来逐一分析,得到了关于G的一些结论.对于G为幂零的情形,我们通过利用文献[16]中的一个较深刻的结果得到了有限群G的分类结果.定理2.1若G为幂零群,且满足|Aut(G)|=2pqr2其中p,q,r是不同的奇素数,则当且仅当G为下列群之一(a)C2pqr2+1,C2(2pqr2+1),其中2pqr2+1为素数；(b)C(2qr2+1)2,C2(2qr2+1)2,其中2qr2+1为素数：(c)C(2pr2+1)2,C2(2pr2+1)2,其中2pr2+1为素数；(d)C(2pq+1)3,C2(2pq+1)3其中2pq+1为素数.对于G为非幂零的情形,我们主要通过G的内自同构群的阶进行分类讨论.这时问题研究的关键是G无非平凡直因子的情形.关于这种情形,我们得到了满足条件的一些解.定理2.2具有2pqr2阶自同构群的有限群G非幂零且无非平凡交换直因子时,G有以下性质：G=TPQR其中T∈Syl2(G),P∈sylp(G),Q∈Sylq(G),R∈Sylr(G)因为|Aut(G)|=2pqr2无立方因子,得到G为可解群且有Sylow塔,从而P(?)G,PQ(?) G,PQR(?)G.(Ⅰ)|Cen(G)|r≤r,|Cen(G)|2,p,q=1.(Ⅱ)|P|=p,|Q|=q,|T|=2,且Z(G)为r-群.(a)D2(2qr2+1),其中2qr2+1为素数；(b)G1=<a,b|ap=bq=1,ab=ar,rq≡1(mod p)>(c)G2=<a,b|ap=br=1,ab=at,tr≡1(mod p)(d)G3=<a,b|apq=b2=1,ab=ar,r2≡1(mod pq)>;(e)G4=<a,b,c|ap=bq=c2=[b,c]=1,ab=ar,ac=a-1,δp(r)=g>;(f)G5:<a,b,c|ap=br=c2=[b,c]=1,ab=at,ac=a-1,δp(t)=r

全文目录

摘要  3-5
Abstract  5-8
第一章绪论  8-16
  §1.1 引言  8-10
  §1.2 基本概念  10-12
  §1.3 主要引理和基本结果  12-16
第二章主要结果  16-23
  §2.1 G幂零时|Aut(G)|=2pqr~2的解  16-17
  §2.2 G非幂零时|Aut(G)|=2pqr~2的解  17-23
结论与展望  23-24
参考文献  24-26
符号说明  26-28
致谢  28-29

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 群论 > 有限群论
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