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稳态动力学方程解序列的紧性与Boltzmann方程解的存在性及大时间行为

作　者: 贺聪
导　师: 朱长江
学　校: 华中师范大学
专　业: 基础数学
关键词: L~p(Besov)紧性稳态动力学方程有界外力 Fourier乘子大时间行为一维Landau方程镜像反射边值条件 Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组硬位势环面
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

本文考虑三个问题,它们分别为稳态动力学方程解序列的局部相对紧性问题,带镜像边值条件的Landau方程解的大时间行为,及硬位势情形下Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组整体解的存在性.下面我们就逐步介绍这三个问题.(Ⅰ)：考虑如下动力学方程(v·▽x+F·▽v)fλ=gλ的解序列在LP(Rxn⒋Rvn)中的局部相对紧性；以及如下方程v·▽xfλ=gλ的解序列在Bp,qs(Rxn×Rvn)空问中的的局部相对紧性.我们主要利用了Fourier乘子方法得到了带外力的稳态动力学方程在Lp空间中的解序列的局部紧性及不带外力下稳态方程在Bp,qs空间中的解序列的局部紧性.(Ⅱ)：考虑如下一维Laudau方程：ft+v1fx=Q(f,f),f(0,x,v)=f0(x,v),(0.0.1)其镜面反射边值条件为f(t,0,v)=f(t,0,Pv).(0.0.2)这里f(t,x,u)≥0是密度分布函数,时间变量t≥0,空间变量x∈R+,速度变量v=(v1,v2,v3)∈R3,Pv=:(-v1,v2,v3).这里(?)i=(?)vi.非负矩阵φ由下式给出在本文中,我们仅考虑γ≥-2的情形.我们研究了一维Landau方程带镜面反射边值条件的半空间问题.利用能量方法,我们证明了Landau方程(0.0.1)-(0.0.4)的解收敛到整体Maxwell分布.同时我们也得到了衰减率.(Ⅲ)：考虑有两种粒子的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组初始值为F±(0,x,v)=F0,±(x,v).这里F±(t,x,v)分别表示定义在t≥0,速度v∈R3及空间变量x∈Ω(这里Ω可以取环面T3或整个空间R3的离子(+)和电子(-)数目密度函数.标准的Boltzmann碰撞算子由下式定义(参考[8])：Q(g1,g2)(v)=∫R3×S2B(θ)|u-v|γ{g1(v’)g2(u’)-g1(v)g2(u)}dudw (0.0.6)≡Qgain(g1,g2)-Qloss(g1,g2).这里ω∈S2,v’=v-[(v-u)·ω]ω,u’=u+[(v-u)·ω]ω.(0.0.7)假定B(θ)满足Grad角截断假设,0<B(θ)≤C|cosθ|及γ∈[0,1](对应硬位势).自封闭电场E(t,x)=-▽xφ(t,x)和电势φ(t,x)满足-△φ=∫R3{F+-F_}dv.环面情形时为x∈T3,∫T3φ(t,x)dx=0.我们建立了硬位势情形下Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组在环面和全空间下整体Maxwell分布附近的整体解.对环面情形,我们将文献[30]中的硬球位势情形推广到了硬位势情形；对全空问情形,推广了文献[62]的存在性结果；而对于衰减率,将Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组硬球位势情形(参考[73])推广到了硬位势情形.我们利用文献[71,72,77]中的能量方法及半群方法来得到方程组解的衰减,利用文献[34,77]中的一些技巧来封闭能量估计以得到整体存在性.

全文目录

内容摘要  5-7
Abstract  7-12
第一章绪论  12-23
  1.1 问题的背景及研究现状  12-17
  1.2 主要结果及重难点  17-21
  1.3 一些概念或符号的介绍  21-23
  1.4 结构安排  23
第二章稳态动力学方程解序列在L~p或Besov空间中的紧性  23-39
  2.1 问题的提出及其主要结果  23-27
  2.2 预备结果  27-34
  2.3 主要结果的证明  34-39
    2.3.1 定理2.1.1的证明  34-37
    2.3.2 命题2.1.2的证明  37
    2.3.3 定理2.1.3的证明  37-39
第三章带镜像反射边值条件Landau方程解的大时间行为  39-66
  3.1 问题的提出及其主要结果  39-47
  3.2 预备结果  47-63
    3.2.1 重新整理后的方程组  47-51
    3.2.2 宏观估计  51-58
    3.2.3 微观估计  58-63
  3.3 主要结果的证明  63-66
第四章硬位势VLASOV-POISSON-BOLTZMANN方程组的整体解的存在性  66-113
  4.1 问题的提出及其主要结果  66-71
  4.2 预备结果  71-85
    4.2.1 局部解  71-78
    4.2.2 补偿函数  78-85
  4.3 能量估计  85-104
    4.3.1 宏观部分估计  85-95
    4.3.2 加权能量估计  95-104
  4.4 主要结果的证明  104-113
    4.4.1 环面上的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组  104-106
    4.4.2 全空间情形下的Vlasov-Poisson-Boltzmann方程组  106-113
参考文献  113-120
研究生期间已发表和待发表的论文  120-121
致谢  121-122

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