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一般速率下随机微分方程数值解的稳定性分析

作　者: 邓英俊
导　师: 刘明珠
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 随机微分方程 Φ(t )稳定数值解 Euler-Maruyama方法 Backward Euler方法随机θ方法
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 29次
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内容摘要

随机微分方程最早出现于20世纪初统计力学的方程中,但由于没有合适的数学工具去处理,其一直没有得到大的发展。之后数十年随着随机过程理论以及It?对随机微积分的严格定义,其得到了飞速的发展。现在随机微分方程已经在信号处理,控制系统,金融衍生物定价,生物种群学等众多领域中都有广泛的应用。尽管如此,由于随机微分方程的复杂性,除极少部分线性方程,其解无法以解析的形式表达出来,这也导致了人们对随机微分方程数值解的关注与研究。在随机微分方程数值解的研究中,稳定性一直是核心问题之一。而这方面的研究又可以细分为两个不同的方向:一种为定性分析,即研究在什么样的条件下解能够稳定;另一种为更精细的定量分析,来进一步得到稳定解的性质。随着随机微分方程理论的进一步发展,定性分析已经得到了很多好的结果,研究重点也逐渐向定量分析偏移。在定量分析中,诸如随机稳定化、随机分叉、随机共振等课题都是稳定性理论结合工程、几何、物理等方向的产物,在本文更为关注的则是解本身的渐进稳定速率问题。本文探讨了非线性随机微分方程的数值解在一般衰减速率下的矩稳定性及几乎必然稳定性。第一章介绍了随机微分方程数值解一般速率稳定性的研究背景、现发展状况以及进一步可研究的方向及应用前景;第二章阐述了本文将探讨的问题,介绍了随机微分方程数值解方面的预备知识并通过实例引入了Φ(t )稳定的概念。第三章研究了随机微分方程解析解几乎必然Φ(t )稳定及p阶矩Φ(t )稳定性,并给出了相应的充分条件。第四章分别讨论了Euler-Maruyama方法,Backward -Euler方法以及一般的随机θ方法这三种数值格式的Φ(t )稳定性,并分别给出数值解几乎必然Φ(t )稳定及p阶矩Φ(t )稳定的充分条件。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
第1章绪论  8-11
  1.1 课题背景  8
  1.2 现有的研究成果  8-9
  1.3 课题应用前景  9-11
第2章预备知识  11-17
  2.1 问题阐述  11-12
  2.2 It(?) 型随机微分方程  12-13
    2.2.1 布朗运动  12-13
    2.2.2 It?o 积分  13
    2.2.3 随机微分方程  13
  2.3 Φ(t ) 稳定  13-15
  2.4 随机微分方程的数值解法  15-16
    2.4.1 Euler-Maruyama方法  15-16
    2.4.2 Backward Euler方法  16
    2.4.3 随机θ方法  16
  2.5 本章小结  16-17
第3章随机微分方程解析解的稳定性分析  17-23
  3.1 随机微分方程解析解的p 阶矩Φ(t ) 稳定性  17-19
  3.2 随机微分方程解析解的几乎必然Φ( t) 稳定性  19-22
  3.3 本章小结  22-23
第4章随机微分方程数值解的稳定性分析  23-45
  4.1 Euler-Maruyama方法数值解的稳定性分析  23-29
    4.1.1 Euler-Maruyama方法数值解的p 阶矩Φ(t ) 稳定性  23-28
    4.1.2 Euler-Maruyama方法数值解的几乎必然Φ(t ) 稳定性  28-29
  4.2 Backward Euler方法数值解的稳定性分析  29-36
    4.2.1 Backward Euler方法数值解的p 阶矩Φ(t ) 稳定性  29-35
    4.2.2 Backward Euler方法数值解的几乎必然Φ(t ) 稳定性  35-36
  4.3 随机θ方法数值解的稳定性分析  36-44
    4.3.1 随机θ方法数值解的p 阶矩Φ(t ) 稳定性  36-43
    4.3.2 随机θ方法数值解的几乎必然Φ(t ) 稳定性  43-44
  4.4 本章小结  44-45
结论  45-47
参考文献  47-51
致谢  51

一般速率下随机微分方程数值解的稳定性分析

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