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马尔可夫调制随机脉冲微分方程数值解的收敛性与稳定性

作　者: 李希文
导　师: 刘明珠
学　校: 哈尔滨工业大学
专　业: 计算数学
关键词: 马尔可夫调制随机脉冲微分方程 Euler-Maruyama方法收敛性稳定性
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
下　载: 11次
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内容摘要

本文主要研究了马尔可夫调制随机脉冲微分方程数值解的收敛性和稳定性。作为重要数学模型的带跳随机微分方程广泛应用于物理学、生物学、医学、经济学和控制学等领域。由于很难获得带跳随机微分方程的显式解表达式,构造适用的数值方法和研究数值解的性质成为既有重大理论意义又有实际价值的研究课题。本文叙述了随机微分方程以及带跳随机微分方程的应用背景,回顾了随机微分方程和带跳随机微分方程的发展状况,分析了随机微分方程的研究现状以及随机微分方程的数值分析。叙述了解析解的稳定性、数值解的收敛性和稳定性的发展状况。对于n维马尔可夫调制非线性脉冲随机微分方程,建立了Euler-Maruyama方法的差分方程,定义了数值解的连续扩张,通过连续扩张研究了数值解的收敛性。如果方程系数满足线性增长条件,那么方程的解析解与数值解2阶矩有界,利用随机积分的性质与Gronwall不等式等得到,如果方程系数满足全局Lipschitz条件,那么数值解在均方意义下是1/2阶收敛的。对于马尔可夫调制线性脉冲随机微分方程,研究了其解析解的均方指数稳定性,利用条件期望、马尔可夫链的遍历性质等给出了稳定的充分必要条件;建立了原方程的Euler-Maruyama方法差分格式,讨论了数值解的均方指数稳定性,也是利用条件期望、马尔可夫链的遍历性质等,给出了数值解的均方Lyapunov指数。最后得出结论:当步长充分小时,数值解再生了解析解的均方指数稳定性。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-6
第1章绪论  6-19
  1.1 课题背景及意义  6-8
  1.2 随机微分方程的研究现状  8-11
  1.3 随机微分方程的数值分析  11-13
  1.4 带跳随机微分方程的研究现状  13-17
  1.5 本文的主要工作  17-19
第2章预备知识  19-23
  2.1 随机微分方程的一些性质  19-21
    2.1.1 随机微分方程解的存在唯一性定理  19-21
    2.1.2 几个不等式  21
  2.2 马尔可夫链的一些性质  21-23
第3章马尔可夫调制随机脉冲微分方程E-M方法的收敛性  23-34
  3.1 引言  23-24
  3.2 Euler-Maruyama 方法  24-26
  3.3 Euler-Maruyama 方法的收敛性  26-33
    3.3.1 解的有界性  26-28
    3.3.2 收敛性定理  28-33
  3.4 本章小结  33-34
第4章马尔可夫调制线性脉冲随机微分方程E-M 方法的稳定性  34-43
  4.1 引言  34
  4.2 解析解的稳定性  34-38
  4.3 数值解的稳定性  38-42
  4.4 本章小结  42-43
结论  43-45
参考文献  45-50
致谢  50

马尔可夫调制随机脉冲微分方程数值解的收敛性与稳定性

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