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群的幂等正交类系统及应用

作　者: 赵建立
导　师: 魏木生
学　校: 华东师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 不可约特征标关联矩阵有效分类对称有效分类幂等正交类系统 Kronecker积广义直和张量映射张量空间广义对称类
分类号: O152.6
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
下　载: 67次
引　用: 9次
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内容摘要

群对称不仅是现代数学的灵魂之一，而且也成了处理现代科学中的对称问题的最为有效的工具。研究群对称的基本工具是群表示论，而群表示的核心概念是群的不可约特征标，所以群的不可约特征标研究是群表示论研究的中心问题之一。文[1]引进了群的有效分类及幂等正交类系统的概念，并巧妙地利用矩阵的同时对角化问题给出了一个有效分类的特征刻划及相对应的幂等正交类系统的计算方法。事实上，群的有效分类及幂等正交类系统的概念分别是群的共轭分类及群的不可约特征标的推广。本文在文[1]的基础上对群的有效分类及幂等正交类系统进行了系统地研究，给出了许多新的概念及方法。发现这种幂等正交类系统，也能像群的不可约特征标一样揭示某种对称性。概括起来有如下几个方面：(1)得到了群的有效分类的特征刻划定理。(2)引进了有限群G关于某个矩阵表示的矩阵表示、双类函数、逆闭分类、Hermite类函数、均匀交分类、均匀可换分类、对称有效分类等概念，并讨论了它们之间的关系；给出了对称有效分类的六个等价刻划；发现了对称幂等正交类系统及其矩阵表示之间的关系；部分地解决了文[1]提出的猜想。(3)给出了有效分类的有效矩阵的计算公式及对称有效分类的有效矩阵的计算公式；揭示了群的不可约特征标与幂等正交类系统的关系，并给出了群的不可约特标的多种计算方法。(4)证明了对称幂等正交类系统的正交定理；得到了有限群的不可约特征标的一个重要定理。(5)研究了可以写成两个阿贝耳群积的群对称有效分类的结构，给出了这类群的大量对称有效分类；定义了幂等正交类系统的Kronecker积与广义直和的概念，并利用这两个概念给出了幂等正交类系统的两种构造方法。(6)发现了群上的幂等类函数，也可以反映多重函数的对称性、矩阵的幂等性及多重线性映射的对称性；给出了张量映射的广义对称张量映射分解及张量空间的广义对称类的分解。

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-10
目录  10-12
第零章引言  12-20
  0.1 研究背景  12-14
  0.2 本文的主要工作  14-19
  0.3 有待于进一步解决的问题  19-20
第一章预备知识  20-29
  1.1 有限群表示及群的特征标  20-22
  1.2 群的有效分类与幂等正交类系统  22-27
  1.3 多重线性代数的基本知识  27-29
第二章幂等正交类系统与对称幂等正交类系统  29-69
  2.1 幂等正交类系统及基本性质  29-38
  2.2 群的对称有效分类与对称幂等正交类系统的特征刻划  38-51
  2.3 群的对称有效分类与对称幂等正交类系统的结构  51-62
  2.4 对称有效分类与对称幂等正交类系统的性质  62-69
第三章幂等正交类系统的构造  69-90
  3.1 利用 Kronecker积构造幂等正交类系统  69-76
  3.2 利用广义直和构造对称幂等正交类系统  76-90
第四章有限群的不可约特征标的性质与计算  90-100
  4.1 有限群的不可约特征标的性质  90-93
  4.2 有限群的不可约特征标的计算方法  93-95
  4.3 算例  95-100
第五章多重函数的对称性与多重线性映射的对称分解  100-117
  5.1 多重函数的对称性  100-105
  5.2 群函数的幂等性与矩阵的幂等性  105-108
  5.3 多重线性映射及张量空间的对称分解  108-117
附录A 主要符号说明  117-118
参考文献  118-123
发表文章目录  123-125
致谢  125

群的幂等正交类系统及应用

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