学位论文 > 优秀研究生学位论文题录展示

平面向量场极限环分支的方法及应用研究

作　者: 谭欣欣
导　师: 冯恩民
学　校: 大连理工大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 平面向量场 极限环分支 弱Hilbert第16问题 Poincaré分支 Abel积分 picad-Fuchs方程 Hopf分支 传染病模型
分类号: O175.1
类　型: 博士论文
年　份: 2005年
下　载: 239次
引　用: 1次
阅　读: 论文下载
 

内容摘要


动力系统的分支理论是常微分方程定性理论的重要研究领域之一,主要研究依赖于参数的向量场的全局轨线拓扑结构随参数变化的规律。就平面向量场的分支理论而言,对于极限环分支的研究已成为人们关注的主要问题。D. Hilbert在1900年展望20世纪数学的未来时,提出的著名的“23个数学问题”的第16个问题,就是寻求平面向量场极限环个数的最小上界,以及这些极限环可能出现的相对位置。上世纪80年代以来这一问题的研究已与分支理论相结合。 有许多数学家致力于研究Hilbert第16问题或1977年由V. I. Arnold提出的它的弱问题。然而,这一问题即使对于二次Hamilton扰动系统仍没解决。弱化的Hilbert第16问题,就是确定Abel积分的零点个数。它将平面Hamilton向量场在多项式扰动下分支出的极限环个数的最小上界归结于相应的Abel积分A（h）在其紧分支△中孤立零点的个数（计重数）的最小上界。但因为人们对高次方程求解的困难,因此,对Abel积分零点个数的求解举步维艰,所以对弱Hilbert第16问题的研究仍然是当今的热门课题之一。 本文围绕上述问题展开研究,主要内容可概括如下: 1.利用Picard—Fuchs方程、椭圆积分的性质以及常微分方程解析理论,证明了对一类具有双中心的三次Hamilton可积系统,在一般三次多项式扰动下,其Abel积分零点个数的上确界为3,即在每个中心型奇点外围能而且只能扰动出3个极限环。而文献[66]得到的结果是其上界为4,因此本文改进了已有的结论。 2.提出了求解Abel积分零点个数的代数方法。与已有的研究方法不同,我们从Abel积分生成元和其各阶微分所组成的行列式的定号性来判别Abel积分零点的个数,因此可借助于符号运算系统计算,从而将极限环分支的研究从定性化转向定量化。并用此方法从理论上推导且结合数值计算验证,证明了一类以非轴对称、非退化三次曲线为Hamilton函数的Hamilton二次系统,经二次多项式微扰最多能分支出两个极限环,而且能分支出两个极限环。而且这两个极限环还具有位置上的任意性。 3.研究了二次非Hamilton可积系统的极限环分支。首先在Jiang Yu and ChengzhiLi（2002）的工作基础上,研究了直线a/c=3/2上,当b>2时一种Q3R类可积非Hamilton系统的环性;然后采用将Abel积分进行幂级数展开的方法,解决了一类双曲线边界二次系统单中心环域的Poincare’分支问题,这种方法更适用于高次多项式系统;最后讨论平面向量场极限环分支的方法及应用研究了具有双曲线与赤道弧为边界的双中心周期环域二次系统的Poincare‘分支,给出了此系统出现极限环的（0,3）分布或出现一个三重极限环的具体的构造方法。 4.利用平面向量场极限环分支的Hopf分支理论,研究了一类具有非线性传染率灯’一,S’的sIRs传染病传播的动力学模型。首次给出了当模型中指数为p全2,q之1的一般整数时,系统的平衡点的精确表达式,并给出了Hopf分支的数值计算及模拟结果。 本文给出的这种简化平衡点坐标表达式的方法适用于一般情形,从而使奇点焦点量的计算简洁和可行。为进行系统的H叩f分支的研究以及定性分析创造了条件。 其次,建立了带有潜伏期及终身免疫的SARS传染病SE工R动力学模型及参数辨识系统。论证了该类控制模型的主要数学性质以及系统的流不变性和弱不变性。根据官方网站公布的疫情数据辨识了SE工R模型中的参数,数值模拟结果表明了模型、算法的正确性和有效性。关键词:平面向量场;极限环分支;弱Hi!bert第16问题;Poi ncar‘分支;Abel积分; pi“ad一Fuchs方程;Hopf分支;传染病模型

全文目录


摘要  5-7
Abstract  7-12
第1章 绪论  12-25
  1．1 选题的科学依据及意义、国内外研究近况  12-16
  1．2 极限环的重次与稳定性  16-18
  1．3 平面系统的分支  18-20
  1．4 Poincare'分支与弱Hilbert第16问题  20-24
    1．4．1 Poincare'分支  20-21
    1．4．2 Hamilton系统的扰动与弱Hilbert第16问题  21-22
    1．4．3 Poincare'分支与Abel积分  22-24
  1．5 本文的主要工作  24-25
第2章 平面三次Hamilton向量场的分支  25-40
  2．1 引言  25-26
  2．2 具有双中心的三次Hamilton系统的Poincare'分支  26-37
    2．2．1 问题的引入  26-27
    2．2．2 A(h)的代数构造  27-29
    2．2．3 Picard—Fuchs方程及A(h)的渐近性态  29-34
    2．2．4 Ricatti方程及ω(h)的单调性  34-37
  2．3 主要结果  37-40
第3章 非轴对称二次Hamilton向量场的分支  40-64
  3．1 引言  40
  3．2 探讨Abel积分零点的代数方法  40-46
    3．2．1 问题的引入  40-41
    3．2．2 主要定理  41-46
  3．3 一类非轴对称Hamiltonian二次系统的Poincare'分支  46-64
    3．3．1 问题的引入  46-47
    3．3．2 Abel积分的代数构造  47-50
    3．3．3 Picad—Fuchs方程  50-53
    3．3．4 函数组Δ_i(h)定号性的研究及其判定的数值方法  53-62
      3．3．4．1 函数Δ_3(h)定号性的研究  53-60
      3．3．4．2 判别Δ_3(h)定号性的数值方法  60-61
      3．3．4．3 Δ_1(h)，Δ_2(h)的定号性  61-62
    3．3．5 主要结果  62-64
第4章 平面可积系统二次非Hamilton向量场的分支  64-100
  4．1 引言  64-65
  4．2 一类可积非Hamilton系统的Poincare'分支  65-81
    4．2．1 问题的引入  65-66
    4．2．2 b＞2时系统的分类  66-70
    4．2．3 Abel积分及Picard—Fuchs方程  70-75
    4．2．4 b=3：以无穷大三角形为边界单中心环域的Poincare'分支  75-80
    4．2．5 主要结果  80-81
  4．3 以双曲线为边界的单中心环域的Poincare'分支  81-89
    4．3．1 问题的引入  81
    4．3．2 Abel积分的线性无关性  81-88
    4．3．3 主要结果  88-89
  4．4 以双曲线与赤道弧为边界的双中心环域的Poincare'分支  89-100
    4．4．1 问题的引入  89-90
    4．4．2 A(h)的代数构造  90-91
    4．4．3 系统呈现极限环(0，2)及(0，3)分布的构造方法  91-96
    4．4．4 具有一个三重极限环的系统的构造方法  96-100
第5章 传染病传播动力学研究  100-126
  5．1 引言  100-102
    5．1．1 传染病研究的重要意义  100-101
    5．1．2 传染病模型国内外研究概况  101-102
  5．2 SIRS传染病动力学模型的建模思想  102-106
    5．2．1 K-M三假设  102-104
    5．2．2 几个重要概念  104-105
    5．2．3 非线性传染率的SIRS传染病模型  105-106
  5．3 具有非线性传染率的SIRS传染病模型的Hopf分支  106-117
    5．3．1 系统(5.2.7)形状的转化  107-109
    5．3．2 系统(5.3.5)的Hopf分支  109-114
    5．3．3 举例  114-116
    5．3．4 主要结果  116-117
  5．4 带有潜伏期的SARS传染病SEIR模型及参数辨识系统  117-126
    5．4．1 SARS传染病动力学的SEIR模型  117-119
    5．4．2 系统的参数辨识及疫情控制区域的建立  119-121
    5．4．3 带形控制区域的数学性质  121-124
    5．4．4 数值模拟  124-126
结论  126-128
参考文献  128-136
攻读博士学位期间发表学术论文情况  136-138
创新点摘要  138-139
索引  139-141
致谢  141-142
大连理工大学学位论文版权使用授权书  142

相似论文

  1. 甲型H1N1流感的传播预测与控制,R184
  2. 具有时滞捕捞项和基于比率的食饵—捕食者模型研究,O175
  3. 双时滞微分方程的Takens-Bogdanov分支,O175
  4. 具有双线性发生率和饱和治愈函数的SIS传染病模型的后向分支,O175.12
  5. 一类具有年龄结构的传染病模型的定性分析,O175
  6. 一类捕食与被捕食系统的定性分析,O175
  7. 一类三种群比率依赖食物链模型的混沌控制与分支研究,O415.5
  8. 具有预防接种且总人口数变化的传染病模型的稳定性分析,O175.1
  9. 生物系统中的Hopf分支与混沌,O175
  10. 一类具时滞Lotka-Volterra系统的Hopf分支与混沌控制,O175
  11. Runge-Kutta法在求解微分方程模型中的应用,O241.8
  12. 平面动力系统的若干分支问题与应用,O175.12
  13. 延迟微分方程Hopf分支及耗散性的数值研究,O241.81
  14. H1N1流行病传播动力模型研究,O175
  15. 几类Hamilton系统的极限环分支,O175.12
  16. 几类多项式扰动系统的极限环分支,O175.12
  17. 一类具有Holling-typeⅢ反应功能函数的捕食—食饵模型的时空动力学分析,O175.2
  18. 两类具有分布时滞的离散传染病模型的稳定性,O175
  19. 具有连续接种免疫的SEIS模型和具有饱和接触率的SEIV模型的动力学分析,O242.1
  20. 一类具双时滞的种群模型的稳定性及Hopf分支分析,O242.1
  21. 几类多项式微分系统的中心焦点判定与极限环分支,O175.12

中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 常微分方程
© 2012 www.xueweilunwen.com