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Cauchy问题形式解的可和性及Mordell型积分函数的研究

作　者: 周爽
导　师: 陈化；张长贵
学　校: 武汉大学
专　业: 基础数学
关键词: Gevrey渐近展开式 Borel可和 q-差分方程 q-Gevrey渐近展开式 Gq-可和 热核 Jacobi theta函数 Mordell的定理
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
下　载: 50次
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内容摘要


对于常微分方程或是偏微分方程的形式解,我们可以通过不同的求和过程得到不同的和。这种现象也常常出现在函数方程中,例如差分方程或是q-差分方程。在本文中,我们就来考虑一个具有奇异初始条件：的热传导方程。本论文的目的一是给出这个Cauchy问题的形式解的三种和,即由文献[26]中的已有结论引出的Borel和、以及分别由热核和Jacobi theta函数引出的q-Borel和(请参考文献[50]和[42,51]),二是建立这三种和之间的联系。具体地说,本论文的内容可分为以下六个章节。在第一章中,我们介绍了一些关于形式解的可和性的已有结果,以及本文所研究的问题和得到的主要结论,并回顾了如何求解定义在实空间上的热传导方程的Cauchy问题,以及实空间上热核的推导。在第二章中,我们介绍了经典的Borel-Laplace求和方法。关于复空间上热传导方程的发散的形式解,由Lutz, Miyake和Schafke(请参考文献[26])给出了相应的精细Borel和。由此,我们得到了本文所考虑的Cauchy问题形式解的精细Borel和。在第三章中,我们介绍了所谓的Gq-求和方法(请参考文献[50])。随后,通过变量代换,我们将本文所考虑的Cauchy问题的形式幂级数解转化为一个q-级数。这样,我们得到一类由热核引出的q-Borel和,并将它与上一章得到的和函数进行比较。在第四章中,我们首先证明了Jacobi theta函数的一些性质,并介绍了由Jacobi theta函数引出的一种求和方法(请参考文献[51]),接着得到了所考虑的q-级数的另一类q-Borel和。在第五章中,我们研究了一类已被Riemann, Kronecker, Lerch, Hardy, Ramanujan, Mordell和其他许多数学家考虑过的积分函数。我们说,由本文得到的一个主要定理可推出Mordell的定理(请参考文献[34,35]),并且我们的这种思想方法可以应用于处理更一般的积分函数。在第六章中,我们对论文作出归纳总结并给出了一些还未解决的相关问题。

全文目录


摘要  5-7
Abstract  7-9
论文创新点  9-14
第一章 引言  14-28
  1.1 研究背景及基本符号  14-17
    1.1.1 研究背景  14-17
    1.1.2 基本符号  17
  1.2 研究问题及主要结果  17-20
  1.3 实空间上的热传导方程  20-26
    1.3.1 Fourier变换  20-23
    1.3.2 定义在(0,∞)×R~n上的基本解的推导  23-26
  1.4 主要内容  26-28
第二章 经典的Borel-Laplace求和方法  28-42
  2.1 Borel可和  28-33
    2.1.1 形式幂级数  28
    2.1.2 Gevrey形式幂级数  28-29
    2.1.3 扇形区域  29
    2.1.4 Gevrey渐近展开式  29-30
    2.1.5 形式Borel变换  30
    2.1.6 Borel可和  30-31
    2.1.7 精细的Borel可和  31-32
    2.1.8 满足J~(1)(u)=0的函数  32-33
  2.2 Borel可和的性质  33-34
  2.3 级数u(Υ,z)的精细Borel和  34-42
第三章 由热核引出的和  42-52
  3.1 Gq-求和方法  42-44
  3.2 级数∑_n=0~∞ e~(n~2τ+nz)的一类q-Borel和  44-52
第四章 由Jacobi Theta函数引出的和  52-64
  4.1 预备知识  52-55
  4.2 Jacobi theta函数  55-58
  4.3 级数∑_n=0~∞ e~(n~2τ+nz)的另一类q-Borel和  58-64
第五章 Mordell的定理及其推广  64-78
  5.1 Mordell的定理  64-67
  5.2 级数Σ_n=0~∞ q~(-n~2)x~n的两类和之间的比较  67-70
  5.3 更一般的情形  70-78
第六章 总结及未解决的问题  78-80
参考文献  80-86
攻博期间发表或接收的论文情况  86-88
致谢  88-89

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程
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