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Bergman空间上的Von Neumann代数、约化子空间和相关的几何分析

作　者: 黄寒松
导　师: 郭坤宇
学　校: 复旦大学
专　业: 基础数学
关键词: von Neumann代数 约化子空间 Ⅱ型因子 解析正则分支覆盖映射 Riemann轨形
分类号: O177
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要


本文中,我们主要研究了单位圆盘D上的Bergman空间La2（D）上乘法算子Mφ的约化子空间和由它生成的von Neumann代数W*（φ）,以及相关的几何分析。由于Bergman空间是由面积测度定义的解析函数空间,其理论和复分析、复几何之间有着密切的联系。由von Neumann的二次换位定理,W*（φ）″=W*（φ）,从某种意义上讲,研究W*（φ）就等价于研究其换位子代数V*（φ）（?）W*（φ）′的结构,注意V*（φ）也是一个von Neumann代数。由此,我们发现了Bergman空间上的算子论和几何、群论之间的一些内在联系。当φ是一个稀疏Blaschke积时,运用解析延拓和局部逆的技巧,我们建立了V*（φ）中酉算子的表示,这一结果推广了Sun关于有限Blaschke积的工作[Sun1]。结合这些事实与算子论、复分析的工具,我们证明了当B是阶数不超过6的有限Blaschke积时,MB的极小约化子空间的数目至多为deg B。当deg B=2和deg B=3,4时,相应的结果分别由[SW,Zhu]和[GSZZ,SZZ1]获得。进一步,我们考虑了V*（φ）,其中φ是解析覆盖映射。我们给出了所有和Mφ交换的酉算子的表达,并由此证明了:对每个从单位圆盘D到复平面有界区域Ω上解析覆盖映射φ,von Neumann代数V*（φ）交换当且仅当Ω的基本群π1（Ω）交换;当且仅当Ω全纯同构于圆盘、去心圆盘、圆环之一。除了上面三种情形,我们还发现在所有其他情形下,V*（φ）总是一个Ⅱ1型因子,且W*（φ）是一个Ⅱ∞型因子。更深入地,我们考虑了φ为解析正则分支覆盖映射的情形,并发现V*（φ）的结构与Riemann轨形（orbifold Riemann surface）及群论密切相关。我们获得了一些深入的结果,比如存在大量的无限Blaschke积B,使得MB的约化子空间格有连续统的势,这和有限Blaschke积的情形是完全不同的。我们还考虑了多圆盘Dn中具有H∞-延拓性质的解析簇。作为应用,我们给出了D3中三点Pick-Nevanlinna插值问题唯一性的一个充分条件。

全文目录


摘要  5-7
ABSTRACT  7-9
第一章 绪论  9-15
第一部分 Bergman空间上的von Neumann代数  15-111
  第二章 相似性,酉等价性和约化子空间  17-43
    2.1 引言  17-19
    2.2 相似性  19-23
    2.3 约化子空间问题  23-35
    2.4 deg B=5,6的情形  35-43
  第三章 稀疏Blaschke积,解析覆盖映射和换位子代数  43-77
    3.1 预备知识  43-46
    3.2 关于插值Blaschke积的一些基本知识  46-49
    3.3 V~*(B)中酉算子的局部表示  49-54
    3.4 定理3.1.1的证明  54-62
    3.5 换位子代数和解析覆盖映射  62-77
  第四章 正则分支覆盖映射、复一维Riemann轨形和Ⅱ_1型因子  77-93
    4.1 预备知识  77-79
    4.2 定理4.1.1的证明  79-85
    4.3 和复一维Riemann轨形的联系  85-93
  第五章 极大交换的von Neumann代数和带分别径向符号的Toeplitz算子  93-111
    5.1 背景和预备知识  93-94
    5.2 极大交换von Neumann代数  94-99
    5.3 带径向符号的Toeplitz算子  99-105
    5.4 高维情形  105-111
第二部分 具有H~∞—延拓性质的解析簇  111-141
  第六章 多圆盘中的压缩核及有H~∞-延拓性质的解析簇  113-141
    6.1 背景和预备知识  113-116
    6.2 坐标函数的非平凡延拓  116-120
    6.3 维数n=2,3时的保范延拓  120-125
    6.4 代数延拓性质  125-126
    6.5 压缩映射的唯一性  126-133
    6.6 压缩核与Nevanlinna-Pick插值问题  133-141
参考文献  141-149
攻读博士期间已完成和发表的文章  149-151
致谢  151-152

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 泛函分析
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