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半格顶点代数的表示与TKK代数的分次自同构群

作　者: 叶从峰
导　师: 谭绍滨
学　校: 厦门大学
专　业: 基础数学
关键词: 半格顶点代数表示 Jordan代数 TKK代数分次自同构群
分类号: O152.5
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

顶点代数是二十世纪末发展起来的一类新的数学研究对象,它与仿射Kac-Moody代数的表示理论以及物理中的共形场理论有紧密的联系（[B01,,MS]）。格顶点代数是最重要、最基本的顶点代数之一。S.Berman、C.Dong和S.Tan研究了与toroidal李代数的表示理论有关的所谓“半格”顶点代数（[BDT]）。设L是一个偶格,V_L是相应于L的格顶点代数。作为向量空间,V_L是对称代数S(H（?）_ct^-1C[t^-1])和群代数C[L]的张量积,其中H=C（?）_ZL。[BDT]中考虑的格L由c_i,d_i（i=1,…,v）张成,并有一个Z-值双线性型（·,·）使得:（c_i,c_j）=（d_i,d_j）=0,（c_i,d_j）=δ_i,j。S.Berman、C.Dong和S.Tan将半格顶点代数定义为其中Lc=（?）。半格顶点代数V是格顶点代数V_L的一个顶点子代数。S.Berman、C.Dong和S.Tan定义了一个结合代数A。A由e_α和d_i生成,满足生成关系:e₀=1,e_α+β=eαeβ,d_ie_α-eαd_i=（d_i,α）e_α,d_id_j=d_jd_i,其中α,β∈L_c,1≤i,j≤v。更重要的是,他们证明了结合代数A的（不可约）表示与半格顶点代数V的（不可约）表示之间有一个一一对应。他们可以由A的一个（不可约）表示构造出V的一个（不可约）表示,也可以由V的一个（不可约）表示得到A的一个（不可约）表示。这就意味着,为结合代数A寻找更多表示的工作是很有意义的。在本论文的第一章,我们首先定义了一个结合代数A_Q。设Q=（qij）是一个元素都是非零复数的v×v复矩阵,并且满足条件:qii=1,qij=q_ji^-1,（1≤i,j≤v）.结合代数A_Q由e_α,d_i生成,满足生成关系:e₀=1,e_αe_β=（?）eα+β,d_ie_α-e_αd_i=（d_i,α）e_α,d_id_j=d_jd_i,其中α=（?）m_ic_i,β=（?）n_ic_i∈L_c,1≤i,j≤v。当Q的所有元素都为1时,结合代数A_Q就是[BDT]中定义的结合代数A。接下来,我们构造了两类不可约A_Q-模:V(a₁,…,a_v-1,b)和V（（?））。另外,我们也研究了这两类模的自同构群。A₁型扩张仿射李代数的分类依赖于从欧氏空间中的半格构造的TKK代数。从欧氏空间的一个半格S出发,可以定义一个Jordan代数J（S）,然后利用所谓的Tits-Kantor-Koecher构造法可以得到一个TKK代数,进而得到一个A₁型的扩张仿射李代数。B.Allison、N.Azam和S.Berman等人证明了,欧氏空间R^v中半格的相似等价类与nullity为v的A₁型扩张仿射根系的同构等价类一一对应（[AABGP]）。在欧氏空间R²。中,只有两个不相似的半格S和S’,其中S是格而S’是非格半格。Jordan代数J（S）和J（S’）都有一个自然的Z²-分次。这个分次自然地诱导出TKK代数9（J（S））和BabyTKK代数G（J（S’））上的一个Z²-分次。在本论文的第二章,我们分别研究JTKK代数G（J（S））和Baby TKK代数G（J（S’））的Z²-分次自同构群。

全文目录

中文摘要  8-10
英文摘要  10-12
序言  12-18
第一章半格顶点代数的表示  18-31
  §1.1 引言  18-20
  §1.2 不可约模V(a_1,…,a_(v-1),b)  20-27
  §1.3 不可约模V((?))  27-31
第二章 TKK代数的分次自同构群  31-53
  §2.1 引言  31-34
  §2.2 TKK代数G(J(S))的分次自同构群  34-45
  §2.3 Baby TKK代数G(J(S'))的分次自同构群  45-53
参考文献  53-61
作者在攻读博士学位期间完成的相关论文  61-62
致谢  62

半格顶点代数的表示与TKK代数的分次自同构群

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