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效应代数及伪BL-代数结构的研究

作　者: 郭建胜
导　师: 李永明
学　校: 陕西师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 效应代数 伪效应代数 完全的伪效应代数 伪的弱效应代数 序列效应代数 同余 理想 伪BL-代数 模糊虑子 次直积
分类号: O153.1
类　型: 博士论文
年　份: 2010年
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内容摘要


量子力学是一套构造物理学理论的规则,而量子逻辑是1936年G. Birkhoff和J. von. Neumann提出的概念,目的是为量子力学提供数学基础,量子逻辑研从代数结构上就是正交模格(完备的复可分的无限维希尔伯特空间中的闭子空间按照包含关系形成的格就是一个正交模格).上世纪60年代随着量子逻辑研究的发展,出现了许多新的模型,如正交代数、弱正交代数等.在二十世纪90年代,斯洛伐克和意大利的学派提出了差分偏序集的概念—等价于弱正交代数.后来,美国学派提出了效应代数的概念,这两个概念实际上也是等价的.1996年,Hajek提出了BL-代数的概念,用来作为基本逻辑(Basic Logic)的代数结构. MV代数,乘积代数和Godel代数都是特殊的BL代数.为了描述效应的序列或者连续度量,2001年Gudder等人提出了效应代数中序列乘积的概念,并以此为基础,系统研究了序列效应代数中序列乘积的性质.本文从代数的角度去研究量子逻辑,主要考虑伪效应代数、序列效应代数及伪BL-代数的代数结构.本文的工作有以下几个方面：(1)研究了完全的伪效应代数的结构.对于完全的效应代数,存在非常重要的范畴等价定理,即对于一个完全的伪效应代数E,存在同构意义下唯一的满足插入性质的定向阿贝尔偏序群G,使得E同构于群G的一个区间,并且存在完全效应代数范畴PεA和满足插入性质的定向阿贝尔偏序群范畴gI之间的范畴等价.通过引入完全的伪效应代数的概念,这个结果可以部分推广到完全的伪效应代数中去.证明了对每个完全的伪效应代数E,存在唯一的满足插入性质的定向偏序群G使得E同构于G的一个区间,并且存在从满足插入性质的定向偏序群范畴gI到完全的伪效应代数范畴ΡPεA之间的诚实的满的函子.(2)研究了伪的弱效应代数的理想、同余以及次直积表示.引入伪的弱效应代数的概念,并且给出了伪的弱差分偏序集的概念.在伪的弱效应代数上定义两个部分运算\和/,就成为了一个伪的弱差分偏序集,同样,在伪的弱差分偏序集上定义一个部分运算+,就成为了一个伪的弱效应代数.从而证明了伪的弱效应代数和伪的弱差分偏序集是等价的.通过引入伪的弱效应代数中的同余等概念证明了在特殊的同余条件下的商代数仍然是伪的弱效应代数.证明了满足RDP性质的伪BL-效应代数在特殊的同余关系下的商代数也是一个伪BL-效应代数并且具有次直积表示.(3)研究了序列效应代数的理想、同余以及Holland理论.引入了分配的序列效应代数的定义,介绍了分配的序列效应代数中的左理想、右理想、理想、素理想和同余等概念,并且证明了满足RDP性质并且以1为乘积单位的分配序列效应代数是具有RDP性质的反格分配序列效应代数的次直积.对于更特殊的交换的序列效应代数,我们考虑Holland理论在它上是否成立,结果表明交换的序列效应代数由素理想诱导的商代数仍然是交换的序列效应代数,并且每一个交换的序列效应代数能被表示为某个反格的自态射形成的序列效应代数.(4)研究了伪BL-代数和伪MV-代数的联系以及伪BL-代数的模糊滤子.研究了伪BL-代数和伪MV-代数的一些联系.引入了局部的伪BL-代数和对称的伪BL-代数的概念,证明了一个对称的伪BL-代数L是局部的,当且仅当对任意的x∈L,ord(x)<∞或ord(x*)<∞,以及给出了对称的伪BL-代数的一些性质.另外研究了局部的伪BL-代数和局部的伪MV-代数之间的联系.引入了伪BL-代数的模糊滤子,模糊正规滤子,模糊素滤子等概念,证明了一些滤子的等价条件,给出了由一个模糊集生成一个模糊滤子的方法.

全文目录


摘要  3-5
Abstract  5-9
前言  9-13
第1章 预备知识  13-27
  1.1 偏序集的相关概念  13-16
  1.2 效应代数的相关概念  16-22
  1.3 BL-代数的相关概念  22-27
第2章 完全的伪效应代数  27-37
  2.1 伪效应代数的理想  27-29
  2.2 伪效应代数中的无限小元  29-32
  2.3 完全的伪效应代数和具有插入性质的偏序群  32-37
第3章 伪的弱效应代数的理想和同余  37-53
  3.1 伪的弱效应代数  37-40
  3.2 伪的弱效应代数和伪的弱差分偏序集之间的关系  40-43
  3.3 伪的弱效应代数的同余  43-45
  3.4 伪BL-效应代数的次直积表示  45-50
  3.5 线性序的伪BL-效应代数  50-53
第4章 序列效应代数  53-69
  4.1 序列效应代数的概念  53-57
  4.2 分配序列效应代数中的理想和同余  57-63
  4.3 分配序列效应代数的子直积  63-66
  4.4 序列效应代数的Holland理论  66-69
第5章 局部的伪BL-代数  69-77
  5.1 局部的伪BL-代数的概念  69-70
  5.2 伪BL-代数和伪MV-代数的关系  70-77
第6章 伪BL-代数的模糊滤子  77-95
  6.1 伪BL-代数及相关性质  77-81
  6.2 伪BL-代数的模糊滤子  81-87
  6.3 伪BL-代数的模糊正规滤子  87-89
  6.4 伪BL-代数的模糊素滤子  89-95
总结  95-97
参考文献  97-105
致谢  105-107
攻读博士学位期间的研究成果  107

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 抽象代数（近世代数） > 偏序集合与格论
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