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与超球展开相关的Hardy空间上的连续线性泛函

作　者: 王勤磊
导　师: 李中凯
学　校: 首都师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 超球级数 Hardy空间微分-反射算子 λ-解析函数 λ-调和函数 Cauchy核 Poisson核
分类号: O174.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文的目的是研究与超球级数相关的广义解析函数，给出当p靠近1时相应的Hardy空间H_λ^p上的连续线性泛函的表示．与超球级数和Jacobi级数有关的函数理论是数学中的一个重要领域，相关问题的研究已取得了一些成果．一方面，其中的大部分问题是经典函数理论的广泛推广，另一方面，在一些特殊参数下的模型又与李群和对称空间上的分析问题密切相关．但是，绝大部分研究都是关于超球级数和Jacobi级数本身的，与经典情况相比，还有许多本质的问题有待探讨，特别是对于相关的解析性质的研究还很少．B．Muckenhoupt和E．M．Stein在1965年的一篇长文中研究了与超球级数相关的Hardy空间，建立了一些基本理论；李中凯于1996年把他们的结果推广到关于一般Jacobi级数的Hardy空间．除此以外，在这方面还没有看到新的进展，原因是由于问题的复杂性，缺少对应于经典解析函数论中的一些重要工具，比如Blaschke乘积等．C．Dunkl自1988年以来的一系列工作开创了研究与具有反射对称性质的权函数有关的多变量特殊函数的有效途径，也为调和分析带来了一个新的研究领域。C．Dunkl构造一族可交换的一阶微分-差分算子来替代偏微分算子，用这些算子的平方和（算子运算）替代Laplace算子．权函数是若干线性函数幂的乘积，它在某有限反射群（作为正交群的子群）下是不变的．在Dunkl理论中，有指数型函数、Fourier变换、Gauss分布等对应的推广形式，还有相应的球面调和展开结构，称为h-球面调和．在二维时相应于群Z¹或Z²（?）D²的h-调和展开就是超球展开或雅克比展开（二维时的一般情况是相应于二面体群D^k的h-调和展开）．关于在上半欧氏空间R₊^d+1或单位圆盘上的Hardy空间H^p已经有系统而丰富的理论，对于Hardy空间H^p上的连续线性泛函的刻画是其中的重要内容．当0<p<1时，（H^p）^*是Lipschitz空间A_d（1/p-1），而（H¹）^*是BMO空间．本文在Dunkl理论的启发下，研究在单位圆盘上关于测度|sinθ|^2λdθ（λ>0）的广义解析函数．我们称圆盘上的函数f是λ-解析的，如果T_zf:= （?）f/（?）z-λf（z）-f（z）/z-z=0.文中的主要工作包括：（i）研究了微分-反射算子和基函数的性质，利用超球多项式给出了圆盘上λ-调和函数和λ-解析函数的“幂级数”形式刻画；（ii）得到Cauchy核C（z，ω）及其在微分-反射算子T_ω作用下的H_λ^p估计；（iii）给出当p靠近1（即2λ+1/2λ+2<p<1）时与超球级数相关的Hardy空间H_λ^p上的连续线性泛函的表示．

全文目录

摘要  4-6
ABSTRACT  6-9
引言  9-11
第一章综述  11-23
  §1.1 超球展开的Poisson积分和共轭Poisson积分  11-14
  §1.2 与超球展开相关的Hardy空间  14-16
  §1.3 圆盘上关于反射不变测度的广义解析结构  16-18
  §1.4 经典Hardy空间及其上的连续线性泛函  18-20
  §1.5 本文的研究内容及主要结果  20-23
第二章关于广义解析函数的性质  23-33
  §2.1 微分-反射算子的性质  23-25
  §2.2 关于测度|sinθ|~(2λ)dθ的标准正交基  25-28
  §2.3 λ-调和函数与λ-解析函数的级数表示  28-33
第三章 Cauchy核的H~p估计  33-39
  §3.1 Cauchy核C(z,ω)的H~p估计  33-35
  §3.2 关于f(z)=T_ω(C(z,ω))的H~p估计  35-39
第四章 H_λ~p上的连续线性泛函  39-43
参考文献  43-47
致谢  47

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