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多复变数全纯函数空间及其算子

作　者: 王雄亮
导　师: 刘太顺
学　校: 中国科学技术大学
专　业: 基础数学
关键词: Hardy-Bloch型空间 Berezin变换 加权Bergman空间 Bloch型空间 Toeplitz算子 Toeplitz型乘积 Hardy空间 复合型算子
分类号: O174.5
类　型: 博士论文
年　份: 2007年
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内容摘要


本论文主要是研究一些多复变数全纯函数空间以及几种算子．这些函数空间和算子是人们经常研究的对象．全文共分六章．在论文的第一章，我们简要地介绍了本文常用的一些记号，定义，背景和主要结果．在第二章，受Lipschitz空间的刻画和Lipschitz型空间等价范数的启发，我们在单位球上定义了一个加权的Hardy-Bloch型空间∧ωρ，2（Bn）．我们发现Hardy-Bloch型空间∧ωρ，2（Bn）是满足积分平均Lipschitz条件的Lipschitz空间的补充和延伸，并且证明它从某种意义上讲实际上就是混合模空间H(∞，ρ，φ（Bn）．与利用Poisson变换刻画Lipschitz型空间相对应的是我们通过函数的Berezin变换来刻画Hardy-Bloch型空间∧ω，1，2（Bn）和∧ω2，2（Bn）．Berezin变换的核是单位球全纯自同构的体积变化率，它跟函数空间理论以及算子理论联系非常密切．同时，Aωρ（Bn）作为一个重要的函数类，我们还研究∧ωρ，2（Bn）（1≤ρ＜∞）中函数的积分平均性质．在第三章，首先，我们研究有界对称域上经典的加权Bergman空间Aρ（Ω，dvs）中函数的特征，这里0＜ρ≤+∞，-1＜s＜+∞．根据有界对称域上的Forelli-Rudin型定理，用一类线性微分算子Dα，β刻画加权Bergman空间Aρ（Ω，dvs），这是对单位球上用导数刻画Bergman空间等价范数的一种推广．利用这些特征，我们很自然的把Aρ（Ω，dvs）推广到加权Bergman空间Aαρ，β（Ω，dvs），这里1≤ρ≤+∞，-∞＜s＜+∞．这种统一处理包括经典的加权Bergman空间和Besov空间．我们给出了Bergman投影在Aαρ，β（Ω，dvs）上的有界性以及它的对偶空间．由于Carleson测度在函数理论中的重要性，我们利用Berezin变换和Bergman度量球也刻画了Aαρ，β（Ω，dvs）上的Carleson测度和消没Carleson测度．由于此时所讨论空间的广泛性以及Carleson测度不一定是有限的，因此，得到了一些新结论并推广了经典的加权Bergman空间上的一些结果．在第四章，我们研究单位球上的Bloch型空间Bα（Bn），考虑Bα（Bn）上的Toeplitz算子Tμ，α，这里1≤α＜2，μ是单位球Bn上的一个正的Borel测度．给出了Tμ，α在Bα（Bn）上有界和紧的充分必要条件，完善了单位圆盘D上同类问题的结果．我们完全刻画了Bn上使得Tμ，α是有界和紧的正的Borel测度μ．在第五章，我们进一步研究Bergman空间，考虑在多圆柱Dn上，什么样的平方可积的全纯函数f和g使得稠定的Toeplitz型乘积算子TfT?在A2（Dn）上是有界的，这里T?是Toeplitz型算子，它的核不是Bergman核．Toeplitz型乘积算子TfT?与广泛研究的Toeplitz乘积算子TfT?相似．已经知道Toeplitz乘积与函数论联系紧密，也是算子理论中的一个重要研究对象．我们发现TfT?有界的必要和充分条件跟f，g的一个积分变换有关，这个结果与Toeplitz乘积算子TfT?的结论类似．在最后一章，我们调查研究几种全纯函数空间，包括Hardy空间，Bergman空间，Bloch空间，考察了这些函数类之间的复合型算子Tψ，φTψ，φ妒定义为Tψ，φf=ψf，οφ（f∈H（Bn）），它是乘法算子和复合算子的推广．利用φ和ψ的函数特征，我们给出了单位球Bn上Tψ，φ从Hardy空间Hp（Bn）到μ-Bloch空间Bμ（Bn）有界和紧的充要条件，以及单位多圆柱上Tψ，φ从Bergman空间Aρ（Dn）到Bloch空间B（Dn）有界和紧的充要条件．总之，通过前面六章的讨论，我们更好的理解了单位球、有界对称域及单位多圆柱等域上全纯函数的性质．特别是，推广了一些经典的全纯函数空间，通过函数空间上算子的研究，进一步理解了不同函数类之间的关系．而且，加深了对算子本身的了解．

全文目录


摘要  5-7
Abstract  7-12
第一章 绪论  12-30
  §1.1 引言  12-18
  §1.2 通用的记号和概念  18-21
  §1.3 本文的主要结果  21-30
第二章 Hardy-Bloch型全纯函数空间  30-43
  §2.1 引言  30-32
  §2.2 Berezin变换特征  32-39
  §2.3 积分平均性质  39-43
第三章 有界对称域上的加权Bergman空间  43-63
  §3.1 引言  43-45
  §3.2 预备知识  45-46
  §3.3 加权Bergman空间A~p(Ω,dv_s)的导数刻画及推广  46-51
  §3.4 加权Bergman空间A_(α,β)~p(Ω,dv_s)的对偶  51-52
  §3.5 加权Bergman空间A_(α,β)~p(Ω,dv_s)上的Carleson测度  52-59
  §3.6 加权Bergman空间A_(α,β)~p(Ω,dv_s)上的消没Carleson测度  59-63
第四章 单位球上Bloch型空间的Toeplitz算子  63-78
  §4.1 引言  63-65
  §4.2 预备知识  65-69
  §4.3 有界的Toeplitz算子  69-73
  §4.4 Toeplitz算子的紧性  73-78
第五章 Bergman空间A~2(D~n)上的Toeplitz型乘积算子  78-91
  §5.1 引言  78-81
  §5.2 T_f(?)有界的必要条件  81-86
  §5.3 T_f(?)有界的充分条件  86-91
第六章 不同全纯函数空间之间的复合算子  91-111
  §6.1 引言  91-92
  §6.2 单位球上Hardy空间到μ-Bloch空间的复合型算子  92-101
  §6.3 单位多圆柱上Bergman空间到Bloch空间的复合型算子  101-111
参考文献  111-117
致谢  117-118
攻读博士学位期间发表的学术论文与取得的研究成果  118

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 函数论 > 复分析、复变函数
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