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一类非二次条件下椭圆问题解的存在性

作　者: 侯禹
导　师: 唐春雷
学　校: 西南大学
专　业: 应用数学
关键词: 变分法 Dirichlet问题 非平凡解 p-Laplacian方程 非二次条件 (C)~*条件 喷泉定理 局部环绕定理 山路引理
分类号: O175.25
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要


文中首先考虑如下Dirichlet问题:其中,Ω是Rn中的光滑有界区域, f（x,t）关于t是奇函数,不需假设f（x,t）满足（AR）条件,运用喷泉定理得到方程无穷解的存在性.主要结果如下:定理1假设f（x,t）满足如下条件:（f1） f（x,-t）=-f（x,t）当所有的x∈Ω且t∈R时成立;（f2）存在a＞0,1＜r＜（N+2）/（N-2）使得|F（x,t）|≤a（1+|t|r）,当x∈（?）,t∈R,N≥3时成立;lim|t|→∞ln（|f（x,t）|+1）×|t|-2=0当x∈（?）,N=2时成立;且如果N=1则不需要任何假设;（f3） F（x,t）/|t|2→+∞当|t|→+∞在Ω上一致成立. F（x,t）/|t|2→0当|t|→0在Ω上一致成立.其中F（x,t）=（?）f（x,s）ds;（f4）存在（?）.a＞0,L＞0使得tf（x,t）-2F（x,t）≥a|t|μ对所有的|t|≥L,x∈Ω时成立.那么对所有的n∈N,方程（1）存在无穷多个解{un}使得当n→∞接下来讨论如下Dirichlet问题:非平凡解的存在性,其中,Ω是Rn中的光滑有界区域,不需假设f（x,t）满足（AR）条件,运用局部环绕定理得到方程非平凡解的存在性.主要结果如下:定理2假设f（x,t）满足如下条件:（f5） F（x,t）/|t|2→+∞当|t|→+∞且F（x,t）/|t|2→0当|t|→0在Ω上一致成立.其中F（x,t）=（?）f（x,s）ds;（f6）存在a1＞0和l＜s＜（N+2）/（N-2）使得|f（x,t）|≤a1（1+|t|s）对所有的（x,t）∈Ω×R时成立;·（f7）存在常数β＞（?）s-1,a2>0和L＞0使得tf（x,t）-2F（x,t）≥a2|t|β对所有的|t|≥L和x∈Ω时成立.如果0是-△+a（有着Dirichlet边界条件）的一个特征值假设如下条件成立:（f8）存在δ＞0使得（i）F（x,t）≥0,对所有的|t|＜δ,x∈Ω成立;或者（ii）F（x,t）≤0,对所有的|t|≤δ,x∈Ω成立.那么方程（2）至少有一个非平凡解存在.最后讨论了带有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程:解的存在性,其中Ω是Rn中的光滑有界区域,△pu为p-Laplacian算子,△pu=div（（?））,λ＞0为参数,不需假设f（x,t）满足（AR）条件,运用山路引理得到方程（3）解的存在性.主要结果如下:定理3假设f（x,t）满足如下条件:（f9）f∈C（（?）×R,R）,当t∈R,x∈（?）时f（x,t）≥0；（f10）limt→0+（?）=0,limt→+∞（?）=+∞关于x∈（?）几乎处处一致成立;（f11）存在q∈（p,（?））使得limt→+∞（?）=0关于x∈（?）几乎处处一致成立;（f12）存在μ＞（?）（q+1-p）和常数a＞0,L＞0使得当tf（x,t）-pF（x,t）≥a|t|μ对所有的|t|≥L和x∈Ω时成立.则问题（3）对每个λ＞0有一个正解.

全文目录


摘要(中文)  4-7
ABSTRACT  7-10
一、前言  10
二、文献综述  10-11
三、预备知识  11-13
四、主要结果  13-16
  §4.1 一类椭圆边值问题无穷解的存在性  13-14
  §4.2 一类非二次椭圆问题非平凡解的存在性  14-15
  §4.3 一类带有Dirichlet边界条件的p-Laplacian方程的解的存在性  15-16
五、主要结果的证明  16-25
六、分析与思考  25-26
参考文献  26-28
后记  28-29
攻读硕士学位期间的科研成果  29

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 偏微分方程 > 椭圆型方程
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