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连续可积系统无穷守恒律的构造

作　者: 张盈
导　师: 屈长征
学　校: 西北大学
专　业: 应用数学
关键词: 可积系统无穷守恒律多项式守恒律守恒密度标度对称 Euler算子同伦算子
分类号: O175.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 39次
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内容摘要

守恒律在应用数学中是普遍存在的,它反映了某些物理量不随时间改变的一种现象.在孤子理论中,守恒律在讨论孤子方程可积性中起着十分重要的作用,无穷多个守恒律和孤立子的存在是密切相关的的,事实上,具有孤立子解的非线性发展方程,大都有无穷多个守恒律.因此,就一个孤子系统而言,寻找其无穷守恒律,对于证明此系统的可积性具有重要的现实意义与理论意义.对连续的可积系统,自从Miura、Gardner和Kruskal发现KdV方程拥有无穷守恒律以来,先后出现了一系列构造其无穷守恒律的方法.但是仅凭人力来构造一个系统的守恒量并非易事,更多守恒律的发现必须也应当借助于计算机来完成.本文分三部分就连续可积系统讨论其无穷守恒律的构造：第一部分简要介绍了可积系统的可积性及可积系统无穷守恒律的研究概况.第二部分通过具体的实例就(1+1)维具有Lax可积性的连续可积系统介绍了一系列构常用的造其无穷守恒律的方法,并对这些方法进行了比较分析,一般情况下,一个连续可积系统的无穷守恒律或者守恒量可以通过以下几个途径来获得：通过Bdcklund变换、Riccati对偶方程、特征函数的形式解、散射问题及散射量α(入)的渐进展开式,通过迹恒等式构造多元系统的守恒律.这些方法虽然各异,但它们之间通过Lax对实现其内在联系,构造步骤基本上可分为三步：首先,由Lax对的空间部分导出Riccati方程.其次,对Riccati方程级数展开从而获得关于系数的递推公式.最后,由Lax的时间发展式来构造守恒律的一般表达式,然后对递推公式中的系数依次取值即可得到系统的无穷守恒律.第三部分详细研究了根据齐次微分方程等秩性质和标度对称属性来构造守恒律的较为简洁有效的一种方法—待定系数法,该方法首先根据齐次微分方程等秩性质和标度对称属性构造出含待定系数的多项式守恒密度的具体形式,然后利用守恒律的定义及Euler算子确定出守恒密度中的待定系数,最后利用同伦算子得到相应的守恒流,从而获得非线性微分方程多项式形式的守恒律.最后在该方法的基础上借助于符号计算系统Maple构造了几个非线性发展方程组不依赖于自变量的多项式形式的守恒律.

全文目录

中文摘要  3-5
Abstract  5-9
第一章绪论  9-14
  1.1 可积系统  9-11
  1.2 可积系统守恒律及其研究  11-14
第二章连续可积系统无穷守恒律的几种构造方法  14-27
  2.1 守恒律的概念  14-15
  2.2 无穷守恒律的几种构造方法  15-25
    2.2.1 直接通过Lax对构造无穷守恒律  15-19
    2.2.2 通过特征函数的形式解构造无穷守恒律  19-20
    2.2.3 通过Baklund变换构造无穷守恒律  20-21
    2.2.4 通过散射数据α(λ)的渐进形式构造无穷守恒律  21-23
    2.2.5 多元系统无穷守恒律的构造  23-25
  2.3 本章小结  25-27
第三章构造非线性发展方程多项式守恒律的待定系数法  27-50
  3.1 基本概念  27-33
  3.2 待定系数方法介绍  33-40
    3.2.1 守恒密度的计算  33-39
    3.2.2 守恒流的计算  39-40
  3.3 几个非线性发展方程组的多项式守恒律  40-48
    3.3.1 Kaup-Boussinesq方程组的守恒律  40-42
    3.3.2 两个Generalized Hirota-Satsuma Coupled KdV方程的守恒律  42-45
    3.3.3 Two-component KdV方程组的守恒律  45-47
    3.3.4 Benney's方程组的守恒律  47-48
  3.4 本章小结  48-50
总结与展望  50-51
参考文献  51-57
攻读硕士学位期间取得的科研成果  57-58
致谢  58

连续可积系统无穷守恒律的构造

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