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Heegaard曲面的拓扑极小性质与稳定化距离

作　者: 鄂强
导　师: 雷逢春
学　校: 大连理工大学
专　业: 基础数学
关键词: 三维流形 Heegaard分解 拓扑极小曲面 Critical曲面 Dehn手术 稳定化距离
分类号: O189.3
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要


研究嵌入曲面的性质来了解三维流形结构,是三维流形理论中基本的方法之一.例如,三维流形中的不可压缩曲面和强不可约曲面是特别重要的研究对象.美国数学家David Bachman探讨了曲面的圆片复形的高阶同伦群,提出了拓扑极小曲面及其拓扑指数的概念.拓扑极小曲面是具有空的或不可缩的圆片复形的曲面.是微分几何学中的极小曲面的概念在拓扑范畴下的推广.特别地,不可压缩曲面和强不可约曲面分别是指数为0和1的拓扑极小曲面,关于这两类曲面的很多结论对于一般指数的拓扑极小曲面同样适用.用组合的方法判断所研究的流形中是否存在高指数拓扑极小曲面并确定或估计其拓扑指数,是拓扑极小曲面理论中基本问题之一.目前高指数的拓扑极小曲面的例子并不多.由于高指数的拓扑极小曲面都是弱可约的,因此我们关注哪些弱可约的曲面是拓扑极小曲面.本文探讨一类重要的弱可约曲面—自融合Heegaard曲面,研究它的拓扑极小性.我们给出自融合Heegaard曲面是指数为2的拓扑极小曲面的充分条件和必要条件.作为推论,我们给出曲面丛流形的标准的Heegaard曲面是指数为2的拓扑极小曲面的充分条件.在这基础上,本文探讨了一类自融合Heegaard曲面是拓扑极小曲面的必要条件.证明了原Heegaard分解足够复杂的时候,自融合Heegaard曲面不能是任意指数的拓扑极小曲面.John Hempel通过探讨Heegaard曲面的曲线复形来研究三维流形,引入了Heegaard分解的距离的概念,用来描述Heegaard分解的复杂程度,本文基于Heegaard距离的思想.引入新工具描述Heegaard分解的复杂程度,提出了Heegaard分解稳定化距离的概念.并通过利用有限次简单Dehn手术构造稳定化的Heegaard分解的方法,给出了三维流形Dchn手术基本定理,即Lickorish-Wallace定理的一个新的证明.

全文目录


摘要  4-5
Abstract  5-13
主要符号表  13-14
1 绪论  14-22
  1.1 背景意义  14-16
  1.2 国内外研究进展  16-19
    1.2.1 Heegaard分解  16-17
    1.2.2 Dehn手术  17-18
    1.2.3 三维流形中的曲而  18-19
  1.3 研究目的及意义  19-20
  1.4 本文的主要内容及文章结构  20-22
2 预备知识  22-40
  2.1 引言  22
  2.2 三维流形  22-26
    2.2.1 三维流形的基本概念  22-23
    2.2.2 三维流形的素分解定理  23-24
    2.2.3 三维流形中的不可压缩曲面与强不可约曲面  24-26
  2.3 三维流形的Heegaard分解  26-33
    2.3.1 把柄添加与压缩体  26-28
    2.3.2 Heegaard分解的定义及例子  28-30
    2.3.3 可约、弱可约、稳定化的Heegaard分解  30-32
    2.3.4 Heegaard分解的融合  32-33
  2.4 曲线复形与Heegaard距离  33-35
    2.4.1 曲线复形  33-34
    2.4.2 Heegaard分解的距离  34-35
  2.5 三维流形的Dehn手术理论  35-39
    2.5.1 Dehn扭转  35-36
    2.5.2 Dehn填充与Dehn手术  36-39
  2.6 本章小结  39-40
3 自融合流形中的Critical曲面  40-50
  3.1 引言  40
  3.2 基础知识  40-43
    3.2.1 Critical曲面  40-42
    3.2.2 自融合三维流形的标准Heegaard分解  42-43
  3.3 自融合积流形的标准Heegaard曲面是Critical曲面的充分条件  43-45
  3.4 自融合积流形的标准Heegaard曲面是Critical曲面的必要条件  45-46
  3.5 曲面丛M(F,φ)的标准Heegaard曲面的Critical性质  46-49
  3.6 本章小结  49-50
4 自融合Heegaard曲面与拓扑极小曲面  50-60
  4.1 引言  50
  4.2 基础知识  50-54
    4.2.1 圆片复形与拓扑极小曲面  50-52
    4.2.2 高指数拓扑极小曲面的存在性  52-53
    4.2.3 拓扑极小曲面与几何极小曲面的联系  53-54
  4.3 一类自融合Heegaard曲面具有拓扑极小性质的必要条件  54-58
  4.4 本章小结  58-60
5 稳定化距离与Lickorish-Wallace定理的证明  60-66
  5.1 引言  60
  5.2 Heegaard分解的稳定化距离  60-62
  5.3 稳定化距离与Dehn手术  62-64
  5.4 Lickorish-Wallace定理的新证明  64-65
  5.5 本章小结  65-66
6 结论与展望  66-68
参考文献  68-78
攻读博士学位期间发表学术论文情况  78-79
致谢  79-80
作者简介  80-82

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 几何、拓扑 > 拓扑（形势几何学） > 解析拓扑学
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