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分形上函数的积分

作　者: 朱莉红
导　师: 龙伦海
学　校: 海南大学
专　业: 应用数学
关键词: s-集 Hausdorff维数 Hausdorff测度 H~s-积分初等函数
分类号: O172.2
类　型: 硕士论文
年　份: 2014年
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内容摘要

近年来有关分数阶微积分的研究引起了人们的广泛关注。目前用得最多的分数阶微积分是基于Gamma函数定义的Riemann-Liouville导数和Riemann-Liouville积分,其次有Caputo导数、Weyl-Marchaud导数等。由于这些分数阶积分的定义本身与分形没有直接的联系,对分形的研究作用意义不大。所以,为了得到分形上特有的积分性质和计算方法,本论文从分形自身所具有的分数维Hausdorff维数和相应的Hausdorff测度出发,来定义专门用于研究直线上分形函数的分数阶积分,我们称之为Hs-积分。第一章介绍分形上函数的分数阶Hs-积分产生的背景和本论文所用到的基本知识：Hausdorff准数和Fubini定理。第二章我们提出了Hs-积分的概念。第一节根据Riemann积分和测度论中可测函数积分的定义方式分别得到Hs-Riemann积分的定义和Hs-Lebesgue积分的定义。第二节讨论了紧的s-集E上的函数f(x)的Hs-Riemann:积分和Hs-Lebesgue积分可积的条件。第三章我们讨论了Hs-积分的性质。第一节从几何上讨论了Hs-Lebesgue积分的意义.第二节对紧的s-集E上函数的Hs-积分的将要用到的一些积分性质作简要的概述,并对其中一些涉及分形专有的性质加以证明。第四章作为主要内容,我们研究了Hs-积分的计算。第一节给出了包含E的闭区间上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的理论计算公式：其中s=Inr/ln N为E的Hausdorff维数,Sm(n)=∑x∈TmXn,这里是由表示系统(N,T)所能够表示的所有m位整数集。同时,给出包含E的实数集R上的初等函数在E上Hs-Riemann积分的具体计算方法：其中对任意i,j=1,…,n,当i>j时aij=bij=0,当i≤j时,令有第二节研究了Hs-积分的实例,针对直线上常见的cantor三分集E上的初等函数f(x),给出f(x)在E上的Hs-Riemann积分(R)∫(x)dHs的计算方法。第五章讨论紧的s-集E上函数f(x)的广义Hs-Riemann积分以及它在求分形集的局部Hausdorff维数方面的应用,即E的Hausdorff维数s是广义Hs-Riemann积分从收敛到发散的α分界点。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-9
1 引言  9-12
  1.1 分形上函数的分数阶H~s-积分产生的背景  9-10
  1.2 本论文所用到的基本知识  10-12
    1.2.1 Hausdorff维数  10
    1.2.2 Fubini定理  10-12
2 H~s-积分的概念  12-16
  2.1 H~s-积分的定义  12-13
  2.2 H~s-积分可积的条件  13-16
3 H~s-积分的性质  16-25
  3.1 H~s-积分的几何性质  16-19
  3.2 H~s-积分的积分性质  19-25
4 H~s-积分的计算  25-36
  4.1 H~s-积分的计算方法  25-30
  4.2 H~s-积分的实例  30-36
5 广义H~s-Riemann积分  36-39
参考文献  39-40
硕士期间参与的科研项目和发表的论文  40-41
致谢  41

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