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R~2中变形Helmholtz方程的Riemann边值问题

作　者: 李丹
导　师: 杨丕文
学　校: 四川师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 变形Helmholtz方程广义柯西型积分跳跃问题 Riemann边值问题
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

在本文中,我们讨论R2空间中一阶变形Helmholt方程的Riemann边值问题.设G是R2平面上由一条光滑Jordan曲线Г所围成的有界单连通区域,我们考虑G上关于实向量函数f(x,y)=((?))的一阶变形Helmholtz方程Df=g,即这里的g(x,y)=((?))是定义在G上的已知实向量函数,g(x,y)∈Lp(G),p>2.方程(1)也可以改写成下列方程组的形式将方程组中第2式两边同乘i,然后两式相加,即将方程组(2)化成了下列一阶椭圆型复方程(?)/((?)z)w(z)=-k/2w(z)+c(z), (3)上式中(?)/(?)z=1/2((?)/(?)x+i(?)/(?)y),ω(z)=f1(x,y)-if2(x,y)而c(z)=1/2(g1(x,y)+ig2(x,y)).将一阶变形Helmoltz方程转化为了一阶椭圆型复方程,即可利用广义解析函数的理论求解其Riemann边值问题.由广义解析函数与解析函数的关系,可得出变形Helmholtz方程解的一种表达式即：ω(z)可表示成w(z)=Φ(z)+ψ(z),ψ(z)=Tw,这里w=wz∈Lp(D),Φ(z)为D内的解析函数,即可简化此边值问题.因此不妨只讨论复方程ωz=-k/2ω(z)满足边界条件w+(t)=G(t)w-(t)+g(t)的边值闯题R,而g(t)=0的问题R记作问题R1.利用广义解析函数Riemann边值问题的理论,先将变形Helmholtz方程Ric-mann边值问题转化为最简形式的跳跃问题,即可利用广义Cauchy型积分得出其在非齐次边界条件下的一个特解,再求出复方程在齐次边界条件下的通解.即分别在不同情况下,获得复方程满足齐次和非齐次边界条件的可解条件及解的表示.

全文目录

摘要  2-4
ABSTRACT  4-7
第一章引言  7-11
第二章变形Helmholtz方程及解析函数的Riemann边值问题  11-25
  §2.1 变形Helmholtz方程相关概念的提出及介绍  11-16
    §2.1.1 解析函数,广义解析函数及四元数函数的定义  11-13
    §2.1.2 Helmholtz算子的提出  13-14
    §2.1.3 变形Helmholtz算子的表达式  14-16
  §2.2 封闭曲线上Riemann问题的提出及求解  16-25
    §2.2.1 Riemann边值问题的提出  16-17
    §2.2.2 Riemann边值问题的求解  17-25
第三章求解R~2中变形Helmholtz方程的Riemann边值问题  25-35
  §3.1 变形Helmholtz方程Riemann问题的定义  25-27
  §3.2 问题R的解的存在性与可解条件  27-32
    §3.2.1 变形Helmholtz方程问题R解的存在性  27-28
    §3.2.2 问题R的可解条件及解的表达式  28-32
  §3.3 变形Helmholtz方程边值问题的推广  32-35
第四章总结  35-37
参考文献  37-38

R~2中变形Helmholtz方程的Riemann边值问题

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