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一维非线性梁方程的摄动解分析

作　者: 石丽华
导　师: 江新华
学　校: 北京化工大学
专　业: 应用数学
关键词: 梁方程初边值问题多重尺度法 Gronwall不等式
分类号: O175.29
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 19次
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内容摘要

非线性梁振动方程在工程实际问题的研究中是很重要的一类方程。由于非线性偏微分方程一般都没有精确解,所以通常采用近似解法。最常见的方法有两种：一是数值解法；二是以摄动法为代表的解析近似法。本文研究如下的两端固定的一维非线性梁方程的初边值问题：(?)给定的初边值条件为u(x,0)=φ(x),((?)u)/((?)t)(x,0)=ψ(x) u(0,t)=u(1,t)=((?)2u)/((?)x2)(0,t)=((?)2u)/((?)x2)(1,t)=0在一定的条件下,Dickey等人得到了上述问题的解的存在、唯一性。当初始位移和速度均为正弦级数时,我们用多重尺度法求得了近似解的首项,并对近似解的第二项关于时间的增长性给出了估计；进一步地,为了得到近似解首项的误差估计,首先我们用能量方法给出了解的一些先验估计,证明了在0<ε≤ε0时解的一致有界性,然后在初始值分别为有限正弦级数和无穷正弦级数时,我们分别用积分方程和能量积分法,结合非线性Gronwall不等式对所得结果进行误差估计,得到如下结论：若给定初值条件为有限正弦级数的形式,则对任意给定的T>0,存在正实数ε0,当0≤x≤1,0≤εt≤T,且0<ε≤ε0时,近似解的首项与精确解之间的误差不超过一个依赖于ε0,T和N的常数与ε的乘积；若给定初值条件为无穷正弦级数的形式,且φ(x)∈C6,Ψ(x)∈C4,则存在正实数T0和ε1,使得当0≤x≤1,0≤εt≤T0,且0<ε≤ε1时,近似解的首项与精确解之间的误差不超过一个依赖于ε1和T0的常数与ε的乘积。

全文目录

摘要  5-6
ABSTRACT  6-13
第一章绪论  13-21
  1.1 相关背景知识  13-15
  1.2 预备知识  15-19
    1.2.1 奇异摄动理论  15-17
    1.2.2 多重尺度法  17-18
    1.2.3 常用不等式  18-19
  1.3 主要结论  19-21
第二章梁方程的初边值问题的有限维摄动解分析  21-33
  2.1 求解近似解的首项  21-24
  2.2 误差估计  24-33
第三章先验估计  33-37
  3.1 估计(?)  33-34
  3.2 估计(?)  34-35
  3.3 估计u(x,t)  35-37
第四章梁方程的初边值问题的无穷维摄动解分析  37-57
  4.1 求解近似解的首项  37-39
  4.2 估计u_1(x,t;ε)  39-52
  4.3 误差估计  52-57
第五章结论  57-59
参考文献  59-61
致谢  61-63
研究成果及发表的学术论文  63-65
作者和导师简介  65-66
附件  66-67

一维非线性梁方程的摄动解分析

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