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关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果

作　者: 王伟平
导　师: 王天明
学　校: 大连理工大学
专　业: 应用数学
关键词: 组合恒等式特殊组合序列 Bernoulli多项式 Euler多项式 Bell多项式 Sheffer序列迭代矩阵 Riordan阵
分类号: O157
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
下　载: 207次
引　用: 2次
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内容摘要

本文研究了一些组合序列以及与组合序列有关的矩阵,主要内容概括如下:第一章介绍了组合序列及矩阵相关理论的发展,而后两章则是本文所得的结果。第二章对一些组合序列进行了研究,这一章的内容分为两个部分。第一部分研究了Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式。在这里,我们得到了广义Apostol-Bernoulli多项式与广义Apostol-Euler多项式的关系式,并给出了Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式乘积之和的确切表达式。第二部分研究了指数型部分Bell多项式和Sheffer序列。我们首先利用指数型部分Bell多项式给出Sheffer序列的两个刻画,接着用相伴序列和Sheffer序列替换Bell多项式中的变量x₁,x₂,…,从而导出许多一般的恒等式。在第三章,我们研究了与组合序列有关的矩阵,这一章的内容也分为两个部分。第一部分给出了Bell矩阵和迭代矩阵的分解,由此为许多在组合学中出现的下三角矩阵提供了统一的分解方法。在第二部分,我们建立了广义Riordan阵理论。在这里,我们不仅研究了广义Riordan阵的基本性质,而且还研究了广义Riordan阵与广义Sheffer序列的关系,并证明了Riordan群与Sheffer序列构成的群是同构的。基于这一事实,我们由Sheffer序列得到了许多特殊的Riordan阵。此外,我们还讨论了Riordan阵的元素满足的递归关系、Riordan阵的分解、反演关系问题以及连接常数问题。

全文目录

摘要  4-5
Abstract  5-8
1 引言  8-13
  1.1 选题及国内外研究概况  8-11
    1.1.1 有关组合序列及组合恒等式的研究  8-10
    1.1.2 矩阵方法在组合学中的一些应用  10-11
  1.2 本文的主要内容  11-13
2 一些组合序列  13-51
  2.1 Apostol-Bernoulli多项式与Apostol-Euler多项式  13-24
    2.1.1 定义与性质  13-15
    2.1.2 B_n~(α)(χ;λ)与(?)_n~(α)(χ;λ)的关系  15-20
    2.1.3 乘积之和的确切表达式  20-24
  2.2 Bell多项式与Sheffer序列  24-37
    2.2.1 定义与性质  24-28
    2.2.2 Sheffer序列的两个刻画  28-29
    2.2.3 Bell多项式与Sheffer序列确定的恒等式Ⅰ  29-33
    2.2.4 应用与注解  33-37
  2.3 关于Bell多项式的一般恒等式  37-51
    2.3.1 Bell多项式与相伴序列确定的恒等式  37-46
    2.3.2 Bell多项式与Sheffer序列确定的恒等式Ⅱ  46-51
3 与组合序列有关的矩阵  51-100
  3.1 矩阵的分解  51-63
    3.1.1 Bell矩阵的分解  51-56
    3.1.2 迭代矩阵的分解  56-63
  3.2 广义Riordan阵  63-77
    3.2.1 Riordan阵与Riordan群  64-67
    3.2.2 Riordan阵与Sheffer序列的关系  67-70
    3.2.3 一些特殊的Riordan阵  70-77
  3.3 递归关系及Riordan阵的分解  77-92
    3.3.1 Riordan阵的元素满足的递归关系  77-80
    3.3.2 Riordan阵的分解  80-81
    3.3.3 一些例子  81-92
  3.4 Riordan阵的应用  92-100
    3.4.1 反演关系问题  92-97
    3.4.2 连接常数问题  97-100
结论  100-101
参考文献  101-106
攻读博士学位期间发表、完成学术论文情况  106-107
致谢  107-108

关于某些组合序列及相关矩阵的若干结果

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