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无限箭图的Ringel-Hall代数和相应量子群

作　者: 侯汝臣
导　师: 章璞
学　校: 中国科学技术大学
专　业: 基础数学
关键词: Ringel-Hall代数量子群双积右扭的smash积 smash积 smash余积
分类号: O157.5
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

这是一篇研究不带定向圈的无限箭图的Ringel-Hall代数及相关课题的博士学位论文。本文首次建立了无限箭图的Ringel-Hall代数的理论，研究了这种类型Ringel-Hall代数的一些重要性质，首次利用该Ringel-Hall代数给出无限箭图所对应的量子群的一个完全实现。它包含如下三个主要部分。第一部分，任给一个没有定向圈的无限箭图Q，构造Q的一系列有限子箭图Q₁，Q₂，…，使得Q₁（?）Q₂（?）…，并且Q=U_i=1^+∞ Q_i。设k是某个有限域。以kQ的有限维模的同构类的集合为基，利用模的扩张关系建立扭Ringel-Hall代数H_*（kQ）。证明如果i＜j，可以把扭Ringel-Hall代数H_*（kQ_i）看作扭Ringel-Hall代数H_*（kQ_j）的子代数，扭Ringel-Hall代数H_*（kQ_i）看作扭Ringel-Hall代数H_*（kQ）的子代数；设H_*（kQ_i）到H_*（kQ_j）的嵌入映射为ψ_ij，那么{ψ_ij|i，j∈Z＞0，i＜j}是一个正向系统，自然的就存在正向极限lim_i→+∞H_*（kQ_i），证明H_*（kQ）（?）lim_i→+∞H_*（kQ_i）。第二部分，由所有kQ的有限维单模组成的集合I，以及定义在kQ的有限维模范畴上对称Ringel型（-，-）得到一个Caxtan datum（I，（-，-）），进而得到相应的量子群U_q（Q）。在这一部分我们利用H_*（kQ）给出U_q（Q）一个完全实现。在这一过程中充分应用了Hopf代数的技巧以便尝试利用各种作用来观察量子群U_q（Q）的各个组成部分之间的关系。其中应用了smash积代数，smash余积余代数，双积代数，模代数，余模代数，双模代数，右扭的smash积等代数结构。第三部分，我们对A_∞型和A_∞^∞型箭图做了特殊研究，得出以下结论：证明了H（kA_∞）是一系列A_n-型Ringel-Hall代数的正向极限，H（kA_∞^∞）是一系列A_∞型Ringel-Hall代数的正向极限；H（kA_∞）和H（kA_∞^∞）分别和它们的合成子代数重合；分别给出H（kA_∞）和H（kA_∞^∞）的一组PBW-型基；证明了箭图A_∞和A_∞^∞的自同构群分别是H（kA_∞）和H（kA_∞^∞）的自同构群的子群。最后我们

全文目录

摘要  6-8
Abstract  8-10
前言  10-18
第一章背景:Ringel-Hall代数和量子群  18-32
  §1.1 箭图  18-20
  §1.2 Cartan datum和相应的量子群  20-21
  §1.3 Ringel-Hall代数  21-22
  §1.4 有限箭图的Ringel-Hall代数  22-24
  §1.5 扭Hopf pairing和Drinfeld double  24-32
第二章无限箭图上的Ringel-Hall代数  32-42
  §2.1 无限箭图的有限维模范畴  32-33
  §2.2 无限箭图Q所对应的量子群U_q(Q)  33-36
  §2.3 扭Ringel-Hall代数H_*(kQ)  36-42
第三章无限箭图相应的量子群的实现  42-68
  §3.1 Smash积,smash余积和双积  42-45
  §3.2 利用双积构造扩展的扭Ringel-Hall代数  45-56
  §3.3 利用右扭的Smash积构造Drinfeld Double  56-64
  §3.4 量子群U_q(Q)的实现  64-68
第四章 A_∞型和A_∞~∞型Ringel-Hall代数  68-96
  §4.1 A_∞和A_∞~∞型路代数的有限维模范畴  68-77
  §4.2 Ringel-Hall代数H(kA_∞~∞)和H(kA_∞~α)  77-87
  §4.3 H(kA_∞~∞)和H(kA_∞)的自同构群  87-93
  §4.4 量子群U_q(sl_∞)和量子群U_q(sl_∞~∞)的一种实现  93-96
参考文献  96-100
致谢  100-102
博士期间完成论文情况  102

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