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关于Poisson几何里的Dirac约化

作　者: 刘玲
导　师: 贺龙光
学　校: 首都师范大学
专　业: 基础数学
关键词: Poisson流形 Jacobi流形李双代数胚 Jacobi双代数胚 Dirac结构特征对约化
分类号: O189.33
类　型: 博士论文
年　份: 2006年
下　载: 35次
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内容摘要

Poisson几何中的—个非常重要的结果和应用即通过利用矩映射等进行Poisson结构和辛结构的约化进而得到对称力学系统的约化。这些约化方法在其可应用的系统类型上有一定的局限性，比如其不能应用于不完整约束系统等。而Dirac结构恰可以用于分析此类以及其它一些微分与代数方程等系统的相关同题。另外，关于Dirac结构的讨论在引入了特征对和对偶特征对等概念以后变得更加清晰、简洁。因为引入Dirac结构的—个基本目的即应用于一些力学系统的约化，本文详细地讨论了Dirac结构的约化问题，包括其在Poisson流形以及Jacobi流形等的约化中的重要应用，重点利用了Dirac结构的特征对以及对偶特征对的工具，从而避开了讨论矩映射的存在性以及容许函数等一些复杂概念的介入。本文在李双代数胚上，引入了Dirac结构的特征对并给出对偶特征对的概念，利用对偶特征对，给出李双代数胚double的极大迷向子丛是Dirac结构的充要条件；其次，分别利用特征对与对偶特征对，将可约Dirac结构分为第一类可约与第二类可约，在此基础上，建立Poisson流形的两类对应约化定理。这些约化理论绕开了传统的借助于矩映射等复杂工具进行Poisson作用与Poisson流形、预辛流形等的约化，并且明确指出约化Poisson流形以及顶辛流形上的约化Poisson结构以及预辛结构与原流形上的对应结构之间的关系，使得约化问题解决的更加简洁、直观。同时给出了对应的应用和例子。关于Jacobi双代数胚，类似地引入了Jacobi-Dirac结构及其特征对和对偶特征对的概念，利用对偶特征对，给出Jacobi双代数胚double的极大迷向子丛是Jacobi-Dirac结构的充要条件；再利用特征对与对偶特征对，将可约Jacobi-Dirac结构分为第一类与第二类可约。在此基础上，建立Jacobi流形的两类对应约化定理，并且给出了约化Jacobi流形上的约化Jacobi结构的具体形式以及其与原流形上的Jacobi结构之间的对应关系。这些约化过程绕开了利用容许函数或其它代数工具进行Jacobi流形等的约化。

全文目录

第一章引言  9-16
第二章李双代数胚的Dirac结构及其约化  16-52
  §2.1 李代数胚、李双代数胚及Courant代数胚  16-19
  §2.2 Dirac结构及其特征对、对偶特征对  19-32
    §2.2.1 Dirac空间(向量空间上的Dirac结构)  20-22
    §2.2.2 李双代数胚上的Dirac结构  22-23
    §2.2.3 Dirac结构的特征对  23-26
    §2.2.4 Dirac结构的对偶特征对  26-29
    §2.2.5 限制Dirac结构  29-32
  §2.3 Dirac流形及其子流形  32-38
    §2.3.1 Dirac流形  32-33
    §2.3.2 特征对与对偶特征对  33-34
    §2.3.3 Dirac流形的子流形  34-35
    §2.3.4 子流形上的诱导Poisson结构  35-38
  §2.4 Poisson作用及Poisson流形的约化  38-41
    §2.4.1 Poisson作用的约化  38-39
    §2.4.2 利用Dirac结构及其特征对进行Poisson流形的约化  39-41
  §2.5 辛流形的约化  41-45
    §2.5.1 利用矩映射进行辛流形的约化  41-43
    §2.5.2 利用Dirac结构及其对偶特征对进行预辛流行的约化  43-45
  §2.6 Dirac约化  45-52
第三章 Jacobi双代数胚、Jacobi-Dirac结构及其约化  52-80
  §3.1 局部李代数与Jacobi流形  52-57
  §3.2 Jacobi代数胚、Jacobi双代数胚及Jacobi-Courant代数胚  57-64
  §3.3 Jacobi-Dirac结构及其特征对、对偶特征对  64-74
  §3.4 两类可约Jacobi-Dirac结构及Jacobi流形的约化  74-80
    §3.4.1 第一类可约Jacobi-Dirac结构  74-78
    §3.4.2 第二类可约Jacobi-Dirac结构  78-80
第四章 Dirac-Nijenhuis流形及其约化  80-84
  §4.1 Dirac-Nijenhuis流形  80-82
  §4.2 Dirac-Nijenhuis流形的约化  82-84
第五章附录  84-88
参考文献  88-93
致谢  93

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