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Heisenberg群上的有界变差函数及其自由不连续问题

作　者: 宋迎清
导　师: 杨孝平
学　校: 南京理工大学
专　业: 系统工程·非线性分析
关键词: Heisenberg群 BV函数 SBV函数 自由不连续问题 Radon测度分解 紧性定理 下半连续性 极小化子
分类号: O152
类　型: 博士论文
年　份: 2002年
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内容摘要


第一章为以后的需要我们引入C-C空间和其特殊情形：次Riemann群和Heisenberg群。 第二章有四个目标：一是讨论H-Caccioppoli集的若干几何性质，二是刻画H-有界变差函数的近似不连续点集和跳跃点集的特征，三是研究u∈BVH（Ω）的逐点行为，我们集中讨论u在Pansu意义下的近似可微性，最后也是最重要的目标我们证明对u∈BVH（Ω），DHu作为Radon测度能够分解成绝对连续部分、跳跃部分和Cantor部分之和。 第三章我们先讨论Heisenberg群Hn上有界变差函数和特殊有界变差函数的弱导数作为Radon测度的若干重要分布特征。其次讨论Heisenberg群上有界变差函数与Lipschitz函数的复合行为以刻画特殊有界变差函数。再次，通过建立SBVH函数的判据，我们证明BVH空间和SBVH空间的紧性定理。 第四章我们研究一类泛函，I（u）=∫Ωf（x，u，Lu）dx的下半连续性，其中f是定义在Hn×R×R2n上的Carathéodory函数，u∈SBVH（Ω），Lu为DHu的绝对连续部分▽Hαu的近似导数。 第五章我们提出了Hn上的一类与偏微分方程和极小曲面联系十分紧密的自由不连续问题。具体说，我们研究如下泛函的极小化子（K，u）的存在性和唯一性：其中，K变化于Hn的闭子集族中，u变化于CH1（Ω＼K）中，f：R2n→R固定且为满足5．1节中（A1）（A2）（A3）的凸函数。与欧氏空间不同的是，在（5．1．1）中我们使用的是球面Hausdorff测度SdQ-1而非Hausdorff测度Hd2n+1，因为Heisenberg群固有的球面Hausdorff测度SdQ-1出现在BVH函数的导数分解式（2.6.34）中，并且目前还不清楚SdQ-1是否等于Hausdorff测度Hd2n+1乘以一个几何常数。通常变分的直接方法不易用于求解（0.0.1）。原因之一在于不存在关于闭集的拓扑能够保证极小化序列的紧性和SdQ-1的下半连续性。2为避免这一困难我们引入松弛泛函 下(·，:一五:，（L·卜。（U一。）q}“·+“邓一“又，一任SB冷‘几，，‘0·O·2）对此泛函运用SB冷紧性定理，我们得到其绝对极小化子的存在性.基于此，我们能够处理（0.0.1）的极小化子(K，司.与此同时我们还得到解的若干正则性结果.

全文目录


1 C-C Spaces and Heisenberg Groups  18-30
  1.1 C-C spaces  18-23
  1.2 Sub-Riemannian groups  23-26
  1.3 Heisenberg groups  26-30
2 The Measure Decomposition  30-58
  2.1 Introduction  30-31
  2.2 Preliminary results  31-35
  2.3 Geometric properties of H-Caccioppoli sets  35-39
  2.4 Approximate continuity of u ∈ BV_H(Ω)  39-47
  2.5 Approximate differentiability  47-53
  2.6 Decomposition of D_Hu for u ∈ BV_H(Ω)  53-58
3 Characterization of BV and SBV Functions  58-78
  3.1 Properties of D_Hu  58-64
  3.2 Chain rule of BV_H functions  64-68
  3.3 Criterion on SBV_H functions  68-72
  3.4 Compactness theorem  72-74
  3.5 SBV_H compactness theorems in full generality  74-78
4 Lower Semicontinuity In SBV_H  78-88
  4.1 Lusin approximation of BV_H functions  78-80
  4.2 Lower semicontinuity  80-88
5 Existence of Minimisers  88-110
  5.1 Introduction  88-89
  5.2 Poincare inequality in SBV_H  89-92
  5.3 Limit behaviour of sequences in SBV_H  92-100
  5.4 The density lower bound  100-106
  5.5 The existence of minimisers  106-110
Bibliography  110-115

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 群论
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