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庞加莱猜想证明的概述

作　者: 官永辉
导　师: 陈卿
学　校: 中国科学技术大学
专　业: 基础数学
关键词: Ricci流庞加莱猜想梯度估计局部坍塌定理 Hamilton紧性定理三维球定理手术 Pinching假设典范邻域定理长时间存在性定理
分类号: O186.12
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

本文主要讲述朱熹平,曹怀东如何用Hamilton-Perelman的Ricci流来证明庞加莱猜想。通过计算度量的发展方程以及进行De Turck变换,可以证明Ricci流解的短时间存在性。通过Ricci流方程和计算变换可以得到曲率的发展方程,从而可以证明曲率满足Shi的梯度估计。定义Mαβ为与曲率相关的量,通过曲率的发展方程得到Mαβ的发展方程,Mαβ的发展方程满足Hamilton极大值原理所需的条件,从而Mαβ满足Hamilton极大值原理。另外,通过利用曲率的发展方程和Li-Yau-Hamilton二形式,可以得到数量曲率的Li-Yau-Hamilton不等式。为了证明非局部坍塌定理,Perelman引进了L-长度和Perelman约化体积的概念,通过Perelman约化体积的单调性证明了非局部坍塌定理。由非局部坍塌定理可以给出曲率的局部内射半径估计,即有Little Loop引理。为了得到标记的发展的流形序列的极限, Hamilton证明了Hamilton紧性定理,Hamilton紧性定理要求标记的流形序列具有一致的内射半径下界,而非局部坍塌定理很好的解决了这个问题。Hamilton紧性定理对于证明球定理和典范邻域定理很重要。此外,Hamilton还为Ricci流的解建立了奇异结构,将极大解分为三类,每一类有相应的奇异模型,并对每一类奇异模型的性质进行了分析。Hamilton证明了三维球定理,给出了三维紧致非负Ricci曲率流形的结构。对于正Ricci曲率的流形来说,它微分同胚于S3或它的商空间。此外,三维流形的Ricci流满足Pinching估计,Pinching估计表明三维极限解必定有非负曲率算子对于三维ancientκ-解,一方面,Perelman告诉我们,它有很好的椭圆型估计,梯度估计和典范邻域定理。典范邻域定理表明,对于三维ancientκ-解,时空流形的每一点都有以下三类的开邻域之一,这三类开邻域分别是球状的,颈状的或帽状的。另一方面,Perelman给出了Ricci流的奇异结构,在曲率很大的时空点,有类似的ancientκ-解的结构和类似的性质,比如梯度估计,典范邻域定理,从而奇异解也有典范邻域定理。有了前面的准备,接下来将是本文主要讲解的部分。对于三维紧致的可定向流形,朱熹平,曹怀东给出了对Ricci流进行手术的具体步骤,主要包含截断手术和丢掉某些紧分支。进一步,要选取合适的截断手术和典范邻域半径,使得解不仅满足Pinching假设和典范邻域假设,而且在有限时间只做有限次手术。最终,将得到]Perelman提出的手术化Ricci流解的长时间存在性定理。对于三维紧致单连通的流形,Colding-Minicozi的有限消失定理表明解在有限时间消失,从而由上述长时间存在性定理以及流形的单连通性,流形微分同胚于三维球面。

全文目录

摘要  4-6
Abstract  6-9
引言  9-19
  0.1 Ricci流的性质  9-11
  0.2 Perelman的约化体积和非局部坍缩定理  11-13
  0.3 收敛定理和奇异模型  13-15
  0.4 三维球定理  15-16
  0.5 ancient к-解和(?)-neck  16-17
  0.6 手术化的Ricci流  17-19
第一章三维流形的Ricci流  19-26
  1.1 典范邻域结构  19
  1.2 手术化的Ricci流  19-26
第二章典范邻域假设的证明  26-44
参考文献  44-45

庞加莱猜想证明的概述

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