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Hamilton系统的数值迭代方法理论

作　者: 贾志东
导　师: 汤铭端
学　校: 中国工程物理研究院北京研究生部
专　业: 计算数学
关键词: Hamilton系统辛几何辛RK方法拟辛P_series 拟辛B_series 牛顿迭代并行的辛算法波形松弛方法自然连续扩展
分类号: O316
类　型: 博士论文
年　份: 2002年
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内容摘要

Hamilton系统广泛地出现于物理、力学、工程、纯数学与应用数学等领域。通常可以认为，一切耗散效应可忽略的真实物理过程，都能够以某一方式表达成哈氏方程的形式。从而，对其数值方法的研究无疑具有重要意义。哈氏系统最重要的性质是庞加莱-刘维尔的一系列相面积的守恒律，即系统的相流是一个单参数的保辛变换。在用数值方法求解这些系统时，我们希望能够保持这一属性，此类方法称为辛算法。本文主要研究了隐式辛RK算法迭代求解的拟辛理论及辛方法的波形松弛并行实现理论。第一章简要概述了Hamilton系统的辛几何理论及辛算法的特点、构造途径和研究现状。第二章基于辛的P-series理论，提出了拟辛的P-series的概念。它是拟辛的B-series理论的一个拓展。对于一个单步数值方法所对应的P-series，给出了其具有拟辛阶q的充分必要条件。利用向后误差分析的方法，得出拟辛数值方法所对应的扰动系统，证明了此扰动系统在小于拟辛阶的截断时，是一Hamilton系统。因此，在O(h^p-q)长的时间内（q为方法的阶），能量误差保持界定，即H（p_n，q_n）=H（p₀+q₀）+O（h^p）。同时进一步阐释了拟辛阶q=2p的方法保持了总体误差在轨道的沿迹方向呈线性增长的特性，这对于精确的长时间计算无疑是具有重要意义的。第三章主要研究了隐式辛RK方法迭代的拟辛理论。对不可分Hamilton系统，辛RK方法是隐式的。我们不得不采用某一迭代方法（例如牛顿迭代）来求解级值的非线性方程组。在实际实施过程中，有限次迭代必将引起计算的不精确性，从而影响保辛性的严格成立。我们采用拟辛性来有效地表示此不精确性，用拟辛阶q来表示此不精确的程度。我们使用拟辛P-series理论与拟辛的B-series理论，建立了拟辛阶q与迭代次数k之间的对应关系。这将对以前仅依赖于精确度Tol的停止准则做了进一步的发展，不得不附加上对辛性的逼近程度即拟辛性的要求。同时证明了高阶预估虽然对提高迭代方法的阶有利，却不能对最终的拟辛性产生本质的影响。为此，我们对原有的迭代做一微小修改及构造了一个级数迭代方法，使得拟辛性得到改善，甚至拟辛阶获得了提高。第四章从构造并行的辛算法的思想出发，我们考虑了辛RK算法的波形松弛实现。波形松弛方法将最终收敛于一极限方法，我们自然要保证此极限方法是辛的。对此我们利用辛变换的定义得出了该方法为辛的充分条件，并在一些合理的假设下，证明此条件也是必要的。通过分析这个辛条件，我们发现，一个辛RK方法的波形松弛实现，若其连续RK方法是一自然连续扩展形式，则在极限意义下保持辛性当且仅当该辛RK方法是一自然RK方法，或者是某一投影方法。如果不要求相应的连续RK方法是一自然连续扩展形式，我们构博士学位论文造了一类经过级值的插值公式，使得所有的辛算法都适用于波形松弛实现。这意味着，辛算法的波形松弛迭代实现，即使在迭代收敛的情况下，也不能无条件地保持辛性，必须谨慎地选取连续估计的插值形式。第五章对论文所做的主要工作进行了总结，并指出今后进一步的工作展望。

全文目录

第一章绪言  8-16
  1．1 Hamilton系统的辛几何理论  8-12
  1．2 辛算法  12-14
  1．3 拟辛算法、迭代过程与并行实现  14-16
第二章 Hamilton系统数值方法的辛P-series理论与拟辛P-series理论  16-30
  2．1 Hamilton系统的P-根树和P-series  16-17
  2．2 辛P-series形式数值解的向后误差分析  17-19
  2．3 拟辛P-series理论  19-30
    2．3．1 拟辛的概念  19-20
    2．3．2 拟辛的条件  20-24
    2．3．3 拟辛方法的基本属性  24-30
      2．3．3．1 向后误差分析  24
      2．3．3．2 Hamilton量的低偏差  24-25
      2．3．3．3 周期解Hamilton问题的线性误差增长  25-30
第三章隐式辛RK算法迭代求解的拟辛性  30-64
  3．1 引言  30
  3．2 简单函数迭代  30-45
    3．2．1 迭代的拟辛性  30-38
    3．2．2 高阶预估对迭代拟辛阶的影响  38-45
    3．2．3 迭代的停止准则  45
  3．3 并行对角迭代  45-49
  3．4 牛顿迭代  49-55
    3．4．1 简化牛顿迭代  51-54
    3．4．2 全牛顿迭代  54-55
  3．5 数值试验  55-64
第四章辛算法的波形松弛实现理论  64-86
  4．1 引言  64-66
  4．2 DSRK方法的辛条件  66-71
    4．2．1 一自由度情形  66-68
    4．2．2 多自由度情形  68-71
  4．3 辛条件的必要性  71-79
  4．4 辛算法波形松弛实现的条件  79-80
  4．5 关于连续估计的插值公式的构造  80-82
  4．6 数值试验  82-86
第五章总结与发展  86-89
  5．1 论文的主要工作  86-87
  5．2 论文的不足之处  87
  5．3 拟辛算法的进一步发展  87-89
参考文献  89-96

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