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非线性方程X+A~*X~(-2)A=Q的Hermite正定解

作　者: 姜立新
导　师: 张玉海
学　校: 山东大学
专　业: 应用数学
关键词: 非线性矩阵方程正定解不动点迭代扰动界牛顿迭代
分类号: O151.21
类　型: 硕士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

求解非线性矩阵方程的问题主要是通过分析所给方程参数的性质来得到方程的解.由于Hermite正定解在实际中应用较多，所以我们只讨论此类解的情况.在现实生活中,方程的来源相当广泛,包括控制理论,动态规划,统计和椭圆型偏微分方程的差分方法求解等多个领域.关于此类方程的求解通常涉及到三个问题:（1）可解性问题,即方程有解的充分和必要条件;（2）数值求解问题,即有效的数定理1矩阵方程（1）有解的充要条件是存在非奇异的矩阵W,Z,使得A=（W^*W）Z,其中矩阵（?）是列酉正交的,此时方程（1）,有解X=W^*W.定理2矩阵方程（1）有解的充要条件是存在酉矩阵U₁,V₁和对角矩阵Γ>0,Φ>0，使得其中Γ²+Φ²=I.此时（?）是方程（1）的解.定理3若方程（1）有解为X,A为非奇异矩阵,则定理4设方程（1）有解为X,A为非奇异矩阵,则其中（?）是数量方程在（?）内的解.定理5设方程（1）有解为X,A为非奇异矩阵,则其中（?）是数量方程在（?）内的解.定理6若A和Q满足条件（2.7）,X是矩阵方程（1）的解,则（?）或（?）（?）或（?）其中,α₁,β₁是方程（2.5）的两个正实根;α₂,β₂是方程（2.6）的两个正实根其次,通过两种不同的迭代方式,利用不动点定理分别求出了方程（1）的迭代解,并讨论了迭代解的收敛性,同时给出了迭代解的扰动界.定理7若A和Q满足条件（2.7）,则矩阵方程（1）在[β₁I,β₂I]上存在唯一解X_L,且不可能有比X_L更大的解.X_L可由以下迭代得到其中X₀∈[β₁I,β₂I].定理8若A和Q满足条件（2.7）,则矩阵方程（1）在X∈[α₂I,α₁I]上有极大解（?）和极小解（?）,且（?）,其中且（?）.对方程（1）的任意解X,都有X≥（?）,即（?）是方程（1）的所有解中的最小解.定理9设A,（?）为非奇异矩阵,Q,（?）为Hermite正定矩阵.若A和Q满足条件那么矩阵方程（1）和（3.4）分别存在最大解X_L和（?）,且满足定理10设X_S和（?）分别是（1）及其扰动方程（3.4）的最小解,则其中（?）,最后,给出了方程的牛顿迭代算法并证明了其收敛阶.定理11由牛顿迭代（4.2）产生的矩阵序列{X_k}二次收敛到X_L,即存在C>0,使得

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