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p-Laplace方程的奇异极限

作　者: 张艳
导　师: 潘兴斌
学　校: 华东师范大学
专　业: 应用数学
关键词: p-Laplace算子极小解奇异极限渐近性态正则性
分类号: O175
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
下　载: 8次
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内容摘要

本文主要考虑含p-Laplace算子的拟线性Neumann问题：的极小解当p→1，λ→∞时的奇异极限，其中Ω（?）Rⁿ为光滑有界区域，n≥2，1<p<n，1<q<np/n-p，v是（?）Ω的单位外法向，λ>0为一参数。对（?）∈W^1,p（Ω），（?）≠0，定义：特别的，当p=1时，其中∫_Ω|D（?）|dx表示（?）在Ω上的全变差。我们知道当1<p<n时，这一有着丰富的数学物理背景的方程近年来已被广泛研究，关于方程极小解的奇异极限问题也已有一些讨论。然而据作者所知，尚未有文献对p=1且λ→∞时的情形有过讨论。因此本文着重讨论了这一问题，考察了Q_1,λ的极小元当p=1且λ→∞时的渐近性态。得到的主要结论是：定理1设n≥2，1<q<n/n-1，若u_λ>0是Q_1,λ的极小元，且‖u_λ‖L^q（Ω）=1，则当λ→∞时，有：（i） u_λ→0 in L¹（Ω），从而有子列u_λj→0 a.e.,（ii）∫_Ω|Du_λ|dx→+∞，从而Q_1,λ→+∞，（iii）‖u_λ‖L^∞（Ω）→+∞。另一方面，已有的文献大多对1<p<n的情形进行研究，而对p>n时的有关情况所知甚少，为探讨这一问题，本文从n=1,p>1的情形入手，考察了上述方程在区间上极小解的存在性、正则性以及奇异极限，得到了一些在高维空间中尚不明确的新现象，以及p→1时与高维情形有一定区别的极小解的Holder模估计。主要的结果是：定理2假设n=1，q>1，I=（0，1），设{u_p}为p>1时方程在I内的极小解序列，x₀为I内任意一点。则有：（i）对0<R<min{x₀，1-x₀}，存在0<τ<1，A>0，它们均仅依赖于λ，R，使得对1<p_j≤3/2，0<r<R,成立（ii）（?）1<p≤3/2，（?）（a，b）（?）（?）I，对0<τ<1，存在α（p）=τ/p+2-2/p，以及C=C（a，b）>0与p无关，使得定理3假设n=1，p>1，q>1，设{u_p}为方程的极小解序列，u_λ为p→1时u_p的奇异极限，若u_p满足则存在M>0，使得

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中文摘要  7-9
英文摘要  9-11
第一章绪论  11-20
  §1.1 引言  11-15
  §1.2 文献综述  15-18
  §1.3 预备知识  18-20
第二章高维次临界指数情形  20-35
  §2.1 1  20-25
  §2.2 p→1时极小解的奇异极限  25-27
  §2.3 p=1,λ→∞时极小的渐近性态  27-35
第三章区间上的p-Laplace方程  35-49
  §3.1 p>1,q>1时极小解的存在性与正则性  36-38
  §3.2 p→1时极小解的奇异极限  38-46
  §3.3 p=1,λ→∞时极小的渐近性态  46-49
总结与展望  49-50
参考文献  50-53
致谢  53

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