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三类保等价关系半群

作　者: 邓伦治
导　师: 游泰杰
学　校: 贵州师范大学
专　业: 计算数学
关键词: 变换半群 矩阵半群 等价关系
分类号: O152.7
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要


半群理论是一门年轻的学科，一直以来人们都在对它进行深入的研究。它在许多领域都有着广泛的用途，比如计算机科学，自动机理论，编码和密码理论等等．随着时代的发展，半群理论越来越呈现出强大的活力和广泛的用途．在半群理论中，由于任何一个抽象半群都能嵌入到一个变换半群中，所以变换半群总是一个充满活力的课题。就从理论而言，对于半群理论的研究，只要研究变换半群就足够了。一直以来，由于有限变换半群优良的可计算性和一系列的组合性质使其受到广大半群学者的青睐。J．A．Green在1951年首次研究了格林关系，格林关系在半群理论的发展中扮演着基础性作用的角色，特别是在有限变换半群理论的发展中。许多的学者对全变换半群和它的一些子半群进行了深入的研究．例如，Hoiwe，游[11-14]，裴[6-9]，杨[15-16]等等．给定一个拓扑空间X，则X上的所有连续自映射在映射合成运算下构成一个半群。Magill和Subiah在1974年对这个半群的正则元的格林关系进行了刻画。近几年，裴慧生[8]观察了一类拓扑空间：设E是集合X上的一个等价关系，则X构成一个拓扑空间，其中由所有的E类集合构成X拓扑的拓扑基．令：TE（X）={α∈TX：（?）（x，y）∈E（?）（xα，yα）∈E}裴慧生研究了正则性，格林关系，以及当|X|有限时，TE（X）的一些其他性质．TX表示集合X上的全变换半群，E是集合X上的一个等价关系．在第2章中，研究TX的一类新子半群，双向保等价关系半群．TE*（X）．TE*（X）={α∈TX：（?）（x，y）∈E（?）（xα，yα）∈E)2．2节讨论了TE*（X）的格林关系，2．3节讨论了TE*（X）的正则性．在第3章中，研究TX的一类新子半群，反向保等价关系半群．T?（X）．T?（X）={α∈TX：（?）（xα，yα）∈E（?）（x，y）∈E}3．2节讨论了TE*（X）的格林关系，3．3节讨论了TE*（X）的正则性．在第4章中，讨论了一类保等价关系的矩阵半群．设：规定：α～β（?）m+n=s+t显然～是平面上向量间的一个等价关系．令：S={A∈R2×2|（?）α，β∈R2×1，α～βthen Aα～Aβ)则S是一个半群．4．2节讨论了S的格林关系，4．3节讨论了S的幂等性和正则性。主要结论如下：第一章给出了半群理论的一些基本概念。定理2．1．3 （1）E=X×X当且仅当TE*（X）=TX；（2）E=I（X上的恒等关系）．当且仅当TE*（X）={α∈TX|（?）x，y∈X，x≠y（?）xα≠yα}定理2．2．1对任意的α，β∈TE*（X），下列条件等价（1）（α，β）∈L；（2）Xα=Xβ；（3）存在E*-容许映射（?）：π（α）→π（β），且α*=（?）β*．定理2．2．2对任意的α，β∈TE*（X），下列条件等价（1）（α，β）∈=R；（2）π（α）=π（β）；|Z（α）|=|Z（β）| （3）存在δ∈TE*（X），δ|Xa：Xα→Xβ是双射，且β=αδ存在σ∈TE*（X），σ|Xβ：Xβ→Xα是双射，且α=βσ定理2．2．3对任意的α，β∈TE*（X），下列条件等价（1）（α，β）∈H；（2）Xα=Xβ，π（α）=π（β）；（3）存在E*-容许映射（?）：π（α）→π（β），且α*=（?）β*；存在δ，σ∈TE*（X），δ|Xα：Xα→Xβ，σ|Xβ：Xβ→Xα是双射，且β=αδ，α=βσ定理2．2．4对任意的α，β∈TE*（X），下列条件等价（1）（α，β）∈D；（2）|Z（α）|=|Z（β）|存在σ∈TE*（X），σ|Xα：Xα→Xβ是双射．定理2．2．5对任意的α，β∈TE*（X），下列条件等价（1）（α，β）∈J；（2）|Xα|=|Xβ|，存在ρ，τ∈TE*（X）对任意的A∈X／E存在B，C∈X／E使Aα（?）BβρAβ（?）Cατ．定理2．2．6对任意的α，β∈TE*（X），|X／E|=n（n是正整数），下列条件等价（1）（α，β）∈D （2）（α，β）∈J （3）|Xα|=|Xβ|，存在ρ，τ∈TE*（X）对任意的A∈X／E存在B，C∈X／E使Aα（?）BβρAβ（?）Cατ定理2．3．1对任意的α∈TE*（X），α是正则元当且仅当对任意的A∈X／E，A∩Xα≠（?）．定理2．3．2 TE*（X）是正则半群当且仅当|C／E|是有限数．定理2．3．3设α，β∈TE*（X）．若（αβ）2=αβ则α，β是正则元。定理3．1．4 （1）TE*（X）=TE（X）∩T?（X）．（2）如果|X／E|=n（n是正整数），则TE*（X）=T?（X）．（3）E=X×X当且仅当T?（X）=TX．（4）E=I当且仅当T?（X）={α∈TX：（?）x,y∈X，x≠y（?）xα≠yα}．定理3．2．1对任意的α，β∈T?（X）．下列条件等价：（1）（α，β）∈L．（2）Xα=Xβ对任意的A∈X／E存在B，C∈X/E使Aα=Bβ，Aβ=Cα（3）存在E*-容许映射（?）：π（α）→π（β）使α*=（?）β*．定理3．2．2对任意的α，β∈T?（X）．下列条件等价：（1）（α，β）∈R．（2）π（α）=π（β）．|Z（α）|=|Z（β）|．并且对任意的x，y∈X，（xα，yα）∈E当且仅当（xβ，yβ）∈E （3）存在δ∈TE*（X）使δ|Xα：Xα→Xβ是双射且β=αδ．存在σ∈TE*（X）使δ|Xβ：Xβ→Xα是双射且α=βσ．定理3．2．3对任意的α，β∈TE*（X）．下列条件等价：（1）（α，β）∈H．（2）Xα=Xβ对任意的A∈X/E，存在B，C∈X／E使Aα=Bβ，Aβ=Cα．π（α）=π（β）；对任意的x，y∈X，（xα,yα）∈E当且仅当（xβ，yβ）∈E （3）存在E*-容许映射（?）：π（α）→π（β）使α*=（?）β*．存在δ，σ∈TE*（X）使δ|Xα：Xα→Xβ，σ|Xβ：Xβ→Xα是双射且β=αδ，α=βσ．定理3．2．4对任意的α，β∈T?（X）．下列条件等价：（1）（α，β）∈D．（2）|Z（α）|=|Z（β）|．存在δ∈TE*（X）使δ|Xα：Xα→Xβ是双射．对任意的A∈X／E存在B，C∈X／E使Aαδ=Bβ，Aβ=Cαδ引理3．2．5对任意的α，β∈T?（X），若|Z（β）|≤|Z（α）|且存在E*-映射δ：Xβ→Xα使对任意的A∈X／E，都存在唯一的B∈X／E使Aα=Bβδ．则存在θ，η∈T?（X）使α=θβη．推论3．2．7对任意的α，β∈T?（X）．若存在δ，σ∈TE*（X）使对任意的A∈X／E，都存在B，C∈X／E使Aα=Bβδ，Aβ=Cβσ．则（α，β）∈J．定理3．2．8对任意的α，β∈T?（X）．若|X／E|=n（n是正整数）．则下列条件等价：（1）（α，β）∈D．（2）（α，β）∈J （3）|Xα|=|Xβ|.存在ρ，τ∈TE*（X），对任意的A∈X／E，都存在B，C∈X／E使Aα（?）Bβρ，Aβ（?）Cατ．定理3．3．1对任意的α∈T?（X）．则α正则当且仅当对任意的A∈X／E有Aα∈Xα／Eα，A∩Xα≠（?）．定理3．3．2 T?（X）是正则半群当且仅当|X／E|是有限数．定理3．3．3对任意的α，β∈T?X．若（αβ）2=αβ则α，β是正则元．定理4．1．1 A=（?）∈S当且仅当α11+α21=α12+α22．推论4．1．3{A∈S：det（A）≠0)是S的子群．推论4．1．4{A∈S：det（A）=0)是S的子半群。定理4．2．1对任意的A，B}∈uinv（S）；（A，B）∈L当且仅当下列条件之一成立：（1）Ar=Br=1，Ac=Bc=-1．（2）Ar=Br=1，Ac≠-1，Bc≠-1．（3）Ar=Br≠1，Ac=Bc=-1．定理4．2．2对任意的A，B∈uinv（S）；（A，B）∈R当且仅当下列条件之一成立：（1）Ac=Bc=-1，Ar=Br=1．（2）Ac=Bc=1，Ar≠1，Br≠1．（3）Ac=Bc≠-1，Ar=Br=1．定理4．2．3对任意的A，B∈uinv（S）；（A，B）∈H当且仅当Ar=Br，Ac=Bc．定理4．2．4对任意的A，B∈uinv（S）；（A，B）∈D当且仅当下列条件之一成立：（1）Ar=Br=1，Ac=-1，Bc=-1．（2）Ar=Br=1，Ac≠-1，Bc≠-1．（3）Ac=Bc=-1，Ar≠1，Br≠1．定理4．2．5对任意的A，B∈uinv（S）；（A，B）∈J当且仅当下列条件之一成立：（1）Ar=Br=1，Ac=-1，Bc=-1．（2）Ar=Br=1，Ac≠-1，Bc≠-1．（3）Ac=Bc=-1，Ar≠1，Br≠1．定理4．3．1对任意的A∈uinv（S），A是幂等元当且仅当下列条件之一成立：（1）A=E．（2）A=（?）（a≠0）.（3）=（?）（a≠0）定理4．3．2对任意的A∈uinv（S）；A是正则元当且仅当下列条件之一成立：（1）det（A）≠0．（2）A∈uinv（S），and Ar=1，Ac≠-1．（3）A∈uinv（S），and Ar≠1，Ac=-1．第五章给出了一些后继课题．

全文目录


Chinese Abstract  5-10
English Abstract  10-16
1. Introduction  16-17
2. Semigroup Of Transformations That Preserve Double Direction Equivalence T_(E~*)(X)  17-27
  2.1 Introduction And Preliminaries  17-19
  2.2 Green's Relations For T_(E~*)(X)  19-25
  2.3 Regularly Elements For T_(E~*)(X)  25-27
3. Semigroup Of Transformations That Preserve Reverse Equivalence T_(?)(X)  27-37
  3.1 Introduction And Preliminaries  27-29
  3.2 Green's Relations For T_(?)(X)  29-34
  3.3 Regularly Elements For T_(?)(X)  34-37
4. Semigroup Of Transformations That Preserve An Equivalence On Plane S  37-53
  4.1 Introduction And Preliminaries  37-39
  4.2 Green's Relations For S  39-50
  4.3 Idempotent Elements And Regularly Elements For S  50-53
5. Further Work  53-54
Acknowledgements  54-55
Bibliography  55-56
Publications  56-57

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 代数、数论、组合理论 > 群论 > 群的推广
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