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一类溶质运移方程的数值解法及地下水污染源项识别问题

作　者: 侯海林
导　师: 刘保东
学　校: 山东大学
专　业: 应用数学
关键词: 数值Laplacc逆变换溶质运移方程源项识别梯度正则化方法分数阶微分方程
分类号: O241.82
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

数学物理反问题的发展十分迅速,其所涉及的也不单是数学和物理中的反问题.由于科学技术的发展和研究范围的扩大,环境、经济、金融、石油勘探等学科都提出了“结果”(观测)探求“原因”(带反演参数)的反演问题.众所周知,数值Laplace逆变换是一个不适定问题,即解不连续依赖于初始测量数据的变化,对于正则化策略的使用势在必行.本文针对承压含水层中二维溶质运移方程的求解,提出了一种新的算法,为解决同类问题提供了一种有效的思路.通过利用有限差分的方法到了在Laplace变换意义下的含水层与上、下承压层中的物质浓度的数值解,进而通过变量代换,将数值Laplace逆变换问题化成Hausdorff矩问题.然后基于矩问题的正则化近似解,由F(s)的N+1个数据F(1),F(2),…,F(N+1)获得Laplace逆变换的数值解,也就是实际空间中的解.地下水污染的源项识别问题是地下水模型反问题中的一类,也是数学物理反问题研究中的一个重要领域.许多国内专家在该方向做了许多工作,取得了不少成果.在文献[17]中,提出了一种新的梯度正则化方法并用于解决带有最终时刻观测值的一维溶质运移源项识别反问题.由质量守恒定律,溶质运移过程可由反应-扩散方程来描述.本文将分数阶微积分的概念引入到地下水污染的源项识别问题当中,探索研究在引入分数阶微积分概念以后,如何进行源项识别.源项识别包括源项强度识别和源项系数识别Zhang Yang[10]提出了一种解决一类变系数时空分数阶反应扩散方程的隐式方法,本文在他的工作的基础上继续研究.本文分别得到了分数阶反应扩散方程源项强度识别问题中Dirichlet边界条件下的数值差分格式及源项系数识别问题中Dirichlct边界条件、Robbins边界条件下的数值差分格式.本文不仅证明了所得数值差分格式的稳定性及收敛性,而且通过数值试验验证了我们所提算法的可行性和有效性,同时将该算法应用到了文献[24]中提到的实际问题中去,并得到了合理的结果.其中重点研究了源项强度识别问题,在正向求解微分方程组时,利用了本文所得数值差分格式,在进行强度识别(逆问题)时,采用了基于Tikohonov正则化策略的梯度正则化方法(the Gradient-Regularization Method).

全文目录

目录  4-7
摘要  7-9
Abstract  9-11
第一章预备知识  11-15
  1.1 反问题概述  11
  1.2 逆Laplacc变换  11-12
  1.3 地下水污染源项识别  12-15
第二章承压含水层中二维溶质运移方程的数值解法  15-23
  2.1 问题背景及问题重述  15-16
  2.2 Hausdorff矩问题的基本理论  16-18
  2.3 算法的详细过程  18-23
第三章一维溶质运移源项强度的识别  23-37
  3.1 数值差分格式  24-26
  3.2 差分格式的稳定性与收敛性  26-31
  3.3 梯度正则化方法  31-33
  3.4 数值试验  33-37
    3.4.1 算例1  33-34
    3.4.2 算例2  34-37
第四章一维溶质运移源项系数的识别  37-41
  4.1 Dirichlet边界条件下的数值差分格式  38-39
  4.2 Robbins边界条件下的数值差分格式  39-41
第五章结论与展望  41-43
附录  43-47
参考文献  47-51
致谢  51-52
学位论文评阅及答辩情况表  52

一类溶质运移方程的数值解法及地下水污染源项识别问题

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