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几类分数阶微分方程初值问题解的研究

作　者: 李秋萍
导　师: 孙书荣
学　校: 济南大学
专　业: 应用数学
关键词: 分数阶微分方程 初值问题 耦合系统 存在性 唯一性
分类号: O175.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要


分数阶微积分是一种关于整数阶标准微积分很自然的数学推广,它研究的是任意阶次的微分与积分的非标准的算子理论及其应用,是数学分析的一个重要分支。随着自然界和许多科学领域中大量分数维事实的出现,分数阶微积分理论以及分数阶微分方程得到了越来越多的数学家们的肯定,并吸引了众多科学家和研究学者的关注。近年来,分数阶微积分以及分数阶微分方程理论在不断发展和完善,在很多领域它们都已经得到了非常广泛的应用。对分数阶微积分以及分数阶微分方程的研究有着十分重要的理论意义和实际的应用价值,特别是从实际问题中抽象出来的分数阶微分方程成为很多数学工作者的研究热点。本文主要研究了几类分数阶微分方程的初值问题,建立了解的存在性与唯一性的若干准则,丰富了分数阶微分方程初值问题解的研究理论。本文的主要工作包括以下五个部分:第一章绪论中,主要介绍了分数阶微积分和分数阶微分方程的发展历史以及研究背景,简要介绍了几类分数阶微分方程关于初值问题解的存在性与唯一性方面的一些重要结果。第二章中,主要讨论简单类型的分数阶微分方程的带权初值问题。利用Schauder不动点定理、Leray-Schauder非线性抉择定理、上下解方法、单调迭代技术及Banach压缩映射原理等不同方法建立解(正解)的存在性与唯一性的条件。第三章中,主要对两类混合分数阶微分方程的初值问题进行研究。利用Leray-Schauder非线性抉择定理,建立混合分数阶微分方程带权初值问题正解的存在性,利用上下解方法、单调迭代技术、Guo-Krasnosel’skii不动点定理、Schauder不动点定理和Banach压缩映射原理,建立混合分数阶微分方程初值问题解的存在性、唯一性以及多重性的若干准则,并举例验证相应结果的合理性。第四章中,主要对两类分数阶微分方程耦合系统的初值问题进行研究。利用Schauder不动点定理,建立简单类型的分数阶微分方程耦合系统关于带权初值条件解的存在性依据;利用Schauder不动点定理和Banach压缩映射原理,建立混合分数阶微分方程耦合系统解的存在性与唯一性条件,并举例说明相应结果的合理性。第五章中,我们对本文中所做的主要工作进行总结,指出本文工作的创新点,并对分数阶微分方程初值问题解的研究进行了展望。

全文目录


摘要  7-9
Abstract  9-11
第一章 绪论  11-19
  1.1 分数阶微积分理论的研究背景  11-13
  1.2 研究现状  13-17
  1.3 本文的主要工作  17-19
第二章 分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性  19-43
  2.1 引言和预备知识  19-21
    2.1.1 引言  19
    2.1.2 预备知识  19-21
  2.2 (0,1]区间上分数阶微分方程初值问题解的存在性  21-29
    2.2.1 解的局部存在性  21-24
    2.2.2 正解的存在性  24-29
  2.3 (0,T]区间上分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性  29-37
    2.3.1 预备知识  29-34
    2.3.2 主要结果  34-37
  2.4 高阶分数阶微分方程初值问题解的存在唯一性  37-43
第三章 混合分数阶微分方程初值问题解的研究  43-75
  3.1 引言及预备知识  43-44
    3.1.1 引言  43
    3.1.2 预备知识  43-44
  3.2 混合分数阶微分方程带权初值问题正解的存在性  44-52
  3.3 混合分数阶微分方程初值问题解的存在性与唯一性  52-61
    3.3.1 预备知识  52-55
    3.3.2 主要结果  55-59
    3.3.3 举例  59-61
  3.4 混合分数阶微分方程初值问题解的多重性  61-65
    3.4.1 主要结果  61-65
    3.4.2 举例  65
  3.5 一般形式的混合分数阶微分方程解的存在唯一性  65-75
    3.5.1 预备知识  66-67
    3.5.2 主要结果  67-72
    3.5.3 举例  72-75
第四章 分数阶微分方程耦合系统解的存在性与唯一性  75-91
  4.1 引言  75
  4.2 分数阶微分方程耦合系统解的存在性  75-79
    4.2.1 预备知识  76-77
    4.2.2 主要结果  77-79
  4.3 混合分数阶微分方程耦合系统解的存在性与唯一性  79-91
    4.3.1 预备知识  79-80
    4.3.2 主要结果  80-88
    4.3.3 举例  88-91
第五章 结论与展望  91-95
  5.1 总结  91-93
  5.2 创新点  93-94
  5.3 展望  94-95
参考文献  95-101
致谢  101-102
附录  102-105

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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 数学分析 > 微分方程、积分方程 > 边值问题
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