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两指标广义布朗单的截口常返性
作 者: 朱能辉
导 师: 林火南
学 校: 福建师范大学
专 业: 概率论与数理统计
关键词: 布朗运动 布朗单 广义布朗单 截口常返性 Hausdorff维数
分类号: O211.6
类 型: 硕士论文
年 份: 2007年
下 载: 2次
引 用: 0次
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内容摘要
众所周知,d维布朗运动当且仅当d≤2时是区域常返的;d维迷向α阶稳定Lévy过程当且仅当d≤α时也是区域常返的,其中α∈(0,2]。1984年,M.Pukushima与N.K(?)no分别解决了d≠4和以=4情形的两指标d维布朗单W={W(s,t),s,t≥0)的截口常返性问题。2004年,R.C.Dalang和D.Khoshnevisan进一步讨论了更广的一类过程—α阶迷向稳定Lévy单的截口常返性,得到了如下的结果:设X={X(s,t),s,t≥0}为一两指标d维迷向α阶稳定Lévy单,α∈(0,2],Ld,α:=(?){s>0,(?)t≥n,使得|x(s,t)|<ε),则(Ⅰ)当d>2α时,Ld,α=φ,a.s.;(Ⅱ)当d∈(α,2α]时,Ld,α在R+中处处稠密,且dimH Ld,α=2-d/α,a.s.其中dimH表示Hausdorff维数,该结论不仅把两指标d维布朗单的截口常返性结果推广到α阶迷向稳定Lévy单,而且把具有常返性的截口的“数量”用Hausdorff维数加以刻画,使这方面的研究更加深入。两指标d维广义布朗单作为两指标d维布朗单的一种发展形式,其截口常返性又是如何呢?本文试图对该问题展开研究,设(?)={(?)(s,t)=((?)1(s,t),(?)2(s,t),…,(?)d(s,t)),s,t≥0].是两指标d维广义布朗单,其中(?)i(s,t)所对应的方差测度为Fi(1≤i≤d)关于Lebegue测度绝对连续,即(?)i(s,t)~N(0,Fi(s,t)),Fi(s,t)=integral from n=0 to s integral from n=0 to t (fi{(u,u))dvdu,而fi(u,u)为R+2上的非负可测函数.由于广义布朗单所对应的方差测度是Lebegue-Stieltjes测度,因此其过程未必有scaling性质,从而给截口常返性问题的研究增加了不少困难。本文给出在较广泛条件下广义布朗单的截口常返性结果,具体如下:记Ld:=(?)(?){s>0, (?)t≥n,使得|(?)(s,t)|<ε},(?)固定b>a>0, c>0, s>0,记Tc(s)=inf{t:F(s,t)=c},Γc:={(s,t)∈R+2:a≤s≤b,F(s,t)=c}. (Ⅰ)当d>4时且(?)满足:条件(C1)设(?)(s,t)~N(0,F(s,t)Id×d,其中Id×d为d阶单位矩阵,F(s,t)=integral from n=0 to s integral from n=0 to t (f(u,u))dvdu,而.f(v,v)为R+2上的非负可测函数,且存在仅与a,b有关的有限正数C(a,b),使得对于任意c>0,由等高线Γc,s=a,s=b和s-轴所围成的部分的F-测度:integral from n=a to b integral from n=0 to (Tc(s) integral from(s t )dtds≤C(a,b)c(log c)2.则Ld=φ,a.s.它说明了:当d>4时,P{(?s>0,使得过程t→(?)(s,t)是区域常返的}=0;即a.s.地对所有s>0,一致地,过程t→(?)(s,t)不是区域常返的。(Ⅱ)当2<d≤4时且(?)满足:条件(C2)设(?)i(s,t)所对应的方差测度为Fi(1≤i≤d)关于Lebegue测度绝对连续,若存在有限正常数c1,c2,使得对于任意矩形A(?)(0,+∞)2,成立:c1|A|≤Fi(A)≤c2|A|,1≤i≤d,其中|A|表示集合A的Lebegue测度,Fi(A)表示集合A的Fi测度。则a.s.地,Ld在R+中处处稠密,且dimH Ld=2-d/2,a.s.这就说明了:当2<d≤4时,P{(?)s>0,使得过程t→(?)(s,t)是区域常返的}=1,即a.s.地对所有s>0,一致地,过程t→(?)(s,t)是区域常返的。
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全文目录
摘要 2-4 Abstract 4-6 中文文摘 6-10 §1 前言 10-16 §2 符号与预备知识 16-28 §3 d>4情形广义布朗单的截口常返性 28-35 §4 2<d≤4情形广义布朗单的截口常返性 35-44 §5 d=4情形广义布朗单的截口常返性集的稠密性 44-50 结束语 50-52 参考文献 52-54 致谢 54-55 个人简历 55-56
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中图分类: > 数理科学和化学 > 数学 > 概率论与数理统计 > 概率论(几率论、或然率论) > 随机过程
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