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最高阶元对有限群结构的影响

作　者: 何承春
导　师: 陈贵云
学　校: 西南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 有限群可解群 Frobenius群 2-Frobenius群素图阶素数
分类号: O152.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2004年
下　载: 57次
引　用: 2次
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内容摘要

设G为有限群，π_e（G）表示群G中元素阶的集合，k是π_e（G）中的最大值，n为G中k阶循环子群的个数。l是一个自然数，M_l（G）是G的l阶元素的集合，M（G）=M_k（G）。t（G）表示G的素图分量个数，即G的素图中连通分支的个数。H（?）K表示H和K半直积。本文证明了下面两个定理：定理1.1若|M（G）|=2m，（m，30）=1，则G是可解群。定理2.1令Z_k为G中k阶循环子群。若|M（G）|=2pq（5＜g＜p，p，g是素数），不妨设|G|=2^u3^v（2g+1）^v（2p+1）^vl，（l，6（2q+1）（2p+1））=1，则有限群G具体结构为： 1、当n=1时，G为下列之一（1） G=Z_k．即G为k阶循环群，其中k=2^ε（2q+1）²，ε=0，1，p=2q+1为素数，或k=2^ε（2pq+1），ε=0，1，2pq+1为素数；（2） G=<a>)（?）<b>，a^k=1，b^g=a^t，b^-1ab=a^r，其中r^g≡1（modk），t（r-1）≡O（modk），g|2pq，k=2^ε（2q+1）²，ε=0，1，p=2q+1为素数，或k=2^ε（2pq+1），ε=0，1，2pq+1为素数； 2、当n=p时（若k=2（2q+1），则设t（G）≥2），则G为下列之一（l）k=2q十1，t(必=1，且G有ZPq个最高阶元的充要条件是p二（2q十1）卜‘+…+（2:+1）+1为素数.?为奇数; （2）天=2叮+z，G为Frobenius群，G=H、K，}H}=（29+1）v，}K}}2叮，尸=（2。+1）卜‘+…+（2。+1）+l为素数，U全3，?为奇数，特别2‘凡（兀）时，万为初等Abel; （3）k=2（29+1），G为Frobenius群，G=H、K，}H】=2“（2叮+z），，夕=2“+l为素数，v=1，或p=（2、+1）”一，+…+（2。+1）+1，。=l; （4）k=2（29十1），G为2一Frobenius群，G有正规列H夕K夕G，使}H}=（29+1）”Zu一’，}G/K}=2.3、当n一q时，则G元的最高阶为2（却十1）.并且当t（G）全2时，G为下列之一（l）G为Robenius群，G=H、K，}H}=2“（2夕+1），尹=2“一1，二（G）={2，2P+1} （2）G为2一Robenius群，G有正规列H困K困G，使{H}=2“一‘（2夕+l），，】G/K}=2.4、当。二pq，k尹4时（若k=6，则设t（G）全2），则G为下列之一（1）k=3，G为凡obenius群，G=H、K，}Hl=2，}兀卜3，，并且兀为初等群;（2）k=3，G为各群，}Gl=3，，且群G最高阶元的个数为知q的充要条件是3v一1e口.匕nA，（3）k=6，G为Frobenius群，G=H、K，}K}=5，}H}=2“3”，pg=（2u一’十…十2十l）（3卜’+…+3十l）; （4）}G/K}=k=6，G为么Frobenius群，G有正规列H夕K夕G，使}H}=2”一’3U2.问题: 1、（1）当二=夕，k=2（2叮+1），G为2一Robenius群，}H}}G/K}=2时，则群G的结构怎样? （2）当n=尹，天=2（2叮+1），t（G）=1时，群‘的结构怎样? 类似的当。二q时，有两个问题 2、（l）当。=q，k=2（2夕+1），G为2-Robenius群，}HI}G/州=2时，群G的结构怎样? （2）当n=g，k=2（2P+1），t（G）=1时，群G的结构怎样? 3、当。= pq时（1）如果k=6，G为2一Frobenius群，}H}=2“一‘3”，!G/K}=G的结构怎样? （2）如果人=6，t（G）=1，群‘的结构怎样? （3）如果k二4，群G的结构怎样?

全文目录

中文摘要  3-6
英文摘要  6-9
前言  9-12
第一节最高阶元素个数为2m((m，30)=1)的有限群  12-16
第二节最高阶元素个数为2pq(p＞q＞5)的有限群的结构  16-30
参考文献  30-31
结束语  31

最高阶元对有限群结构的影响

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