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凸域内定长线段的运动测度的另一种表达式

作　者: 何琼
导　师: 李寿贵
学　校: 武汉科技大学
专　业: 应用数学
关键词: 凸域广义支持函数限弦函数运动测度径向函数
分类号: O186.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
下　载: 14次
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内容摘要

本论文以凸体为研究对象,研究的是凸域内定长线段的运动测度的表达式。凸域内定长线段的运动测度公式是一个几何测度问题,最早的几何测度问题是著名的Buffon投针问题。上世纪80年代任德麟教授在其著作《积分几何学引论》中运用运动密度,Poincare公式(与定曲线相交的动曲线集的测度公式)及Blaschke运动基本公式(与定区域相交的动区域集的测度公式)得到运动测度来解决几何概率问题。在《积分几何学引论》中,引入凸域的广义支持函数和限弦函数两个新概念,利用它们建立了凸域内定长线段的运动测度(即包含测度)的普适性公式,并对矩形区域进行了讨论。本文在此基础上,再引入径向函数的概念,将原有的测度公式中直线的广义法式用径向函数来变换,将公式中的直角坐标系下的结果用直线密度的极坐标形式代换,获得了运动测度公式的另一种表达式,并给予了严格的数学证明。当凸域由径向函数给出时,此公式提供了一种直接计算包含测度的方法。为验证新的表达式,本论文还给出了在圆中运用新表达式的例子。

全文目录

摘要  3-4
ABSTRACT  4-6
第一章绪论  6-10
  1.1 综述  6-8
  1.2 问题的提出及研究现状分析  8
  1.3 本论文所作的工作  8-9
  1.4 研究目标  9
  1.5 本研究的创新之处  9
  1.6 本论文的内容安排  9-10
第二章凸域内定长线段运动测度公式  10-20
  2.1 引言  10
  2.2 问题的描述和预备知识  10-20
    2.2.1 基本概念  10-11
    2.2.2 凸曲线，支持线及其存在性  11
    2.2.3 直线的广义法式  11
    2.2.4 凸集的支持函数与宽度函数  11-12
    2.2.5 凸曲线作为直线族的包络  12-14
    2.2.6 直线的密度及其另外一些形式  14-17
    2.2.7 Blaschke 公式及其直接推论  17
    2.2.8 凸域内定长线段运动测度  17-20
第三章凸域内定长线段运动测度的另一种表达式  20-30
  3.1 主要结论及其证明  20-26
  3.2 例子  26-30
第四章结论与展望  30-31
参考文献  31-34
致谢  34

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