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关于单位球面及双曲空间中子流形的一些结果

作　者: 翟书杰
导　师: 胡泽军
学　校: 郑州大学
专　业: 基础数学
关键词: 李奇曲率平均曲率向量同胚同调群双曲空间常数量曲率主曲率
分类号: O186.1
类　型: 硕士论文
年　份: 2005年
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内容摘要

本文内容分两部分。第二章,我们从子流形几何的观点出发,得到了关于单位球面中偶数维子流形Mⁿ的一个拓扑球定理,该结果将Vlachos近期的一个同类结果由奇数维推广到偶数维。第三章,我们研究了双曲空间中具有两个不同主曲率的常数量曲率超曲面,并得到了分类定理,同时还得到了若干刚性的结果。本文的主要结果叙述如下: 定理A 设Mⁿ是n+k维单位球面S^n+k中紧致可定向的子流形,其平均曲率向量为H。如果n为偶数,Ricci曲率满足 Ric>（n-2）[1+H²+|H|（1+|H|²）^1/2]则Mⁿ同胚于Sⁿ。定理B 设Mⁿ是Hⁿ⁺¹（-1）（n≥3）中具有常数量曲率n（n-1）R和两个不同主曲率的超曲面。则有（ⅰ）如果两个主曲率的重数均为大于1的常数,则Mⁿ等参且等距于黎曼乘积H^m（c₁）×S^n-m（c₂）,其中2≤m≤n-2,c₁、c₂是满足c₁<0,c₂>0及1/c₁+1/c₂=-1的常数; （ⅱ）Hⁿ⁺¹（-1）中存在无限多具有两个不同主曲率其中一个是单重的常数量曲率超曲面; （ⅲ）若Mⁿ完备,且两个主曲率中的一个是单重的。则R≥-1。进一步地,如果假定R>-（n-2）/n（R≠o）,Mⁿ的第二基本形式长度的平方S满足 S≥（n-1）（nR+n-2）/n-2+（n-2）/（nR+n-2）,则当R>0时,Mⁿ等距于黎曼乘积H¹（-nR/（nR+n-2））×S^n-1（nR/（n-2））,当R<0时,Mⁿ等距于H^n-1（nR/（n-2））×S¹（-nR/（nR+n-2））; （ⅳ）若Mⁿ完备,且R>0,两个主曲率中的一个是单重的。 S≤（n-1）（nR+n-2）/（n-2）+（n-2）/（nR+n-2）,

全文目录

第一章引言  8-10
第二章关于球面中偶数维子流形的一个球定理  10-15
  §2．1 引言  10-11
  §2．2 一些预备知识  11-13
  §2．3 定理的证明  13-15
第三章双曲空间中具有常数量曲率的超曲面  15-39
  §3．1 引言  15-18
  §3．2 H~(n+1)(c)中超曲面的结构方程  18-19
  §3．3 具有两个不同主曲率及常数量曲率的超曲面  19-27
  §3．4 定理3．2型超曲面的实现  27-34
  §3．5 黎曼乘积 H~1(tanh~2r-1)×S~(n-1)(coth~2r-1)和H~(n-1)(tanh~2r-1)×S~1(coth~2r-1)的表征  34-39
参考文献  39-41
后记  41

关于单位球面及双曲空间中子流形的一些结果

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