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子流形高斯像的几何与拓扑性质研究

作　者: 张玮
导　师: 许洪伟
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: 极小子流形可定向高斯性质研究等距浸入拓扑性质完备子流形当且仅当极小曲面浙江大学
分类号: O189.33
类　型: 硕士论文
年　份: 2006年
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内容摘要

子流形高斯像的几何与拓扑是整体微分几何领域的重要研究课题之一。本文着重研究常曲率空间形式中完备子流形高斯像体积的几何与拓扑性质。获得了子流形高斯像体积的计算公式及其上、下界估计，并证明了高斯像体积pinching条件下的拓扑球面定理。 1968年，陈省身证明了欧氏空间R^2+p中完备可定向极小曲面高斯像的面积等于该极小曲面的总曲率乘以-1.1986年，陈志华将这一定理推广到球面S^2+p和双曲空间H^2+p中完备可定向极小曲面的情形。在此基础上，1990年，李海中和许洪伟独立地给出了常曲率空间形式中完备可定向曲面高斯像的面积计算公式。1981年，M. Gromov证明了任一n维紧致黎曼流形M的全Betti数∑_i=0ⁿβ_i≤C（n，k），其中C（n，k）为仅与n，k有关的正常数，k=inf K_M。本文第一部分首先研究了欧氏空间R^n+p中n维完备可定向子流形的高斯像的几何与拓扑性质，给出了高斯像体积的计算公式、高斯像体积的几何上界和拓扑下界，证明了高斯像体积pinching条件下的拓扑球面定理。确切地说，获得了下述结果：设φ：M→R^n+p是n维完备可定向黎曼流形M到R^n+p的等距浸入，g（M）为M的高斯像。则（ⅰ）V（g（M））≤n^-（n/2）∫_M S^n/2dM；（ⅱ）如果M是紧致的，那么 V（g（M））≥ω_p-1^-1 ∫_S^n+p-1\E sum from i=0 to n c_i（φz）dz≥C（n，p）sum from i=0 to n β_i．特别地，当V（g（M））＜3C（n，p）时，M必同胚于n维球面Sⁿ（1）．这里φ_z是z方向上的高度函数，E是S^n+p-1中的零测集，c_i（φ_z）是Morse函数φ_z的指数为i的临界点的个数，β_i是M的关于任一固定系数域的第i个Betti数，C（n，p）=ω_n+p-1／ω_p-1，ω_m是m维单位球面S^m（1）的体积。球面中子流形具有两类不同的高斯映射。本文第二部分研究了球面中完备子流形的第一类高斯像的几何与拓扑性质，获得了第一类高斯像体积的计算公式，并将第一部分中的主要结果作了如下推广：设φ：M→S^n+p是n维完备可定向黎曼流形M到S^n+p的等距浸入，g（M）为M的第一类高斯像。则（ⅰ）∫M（1+S）^1/2dM≤V（g（M））≤∫M（1+s/n）^n/2dM，当且仅当M是全测地时等号成立；（ⅱ）如果M是紧致的，那么 V（g（M））≥ω_p^-1 ∫_S^n+p\E sum from i=0 to n c_i（（Ioφ）z）dz≥C₁（n，p） sum from i=0 to n β_i．特别地，当V（g（M））＜3C₁（n，p）时，M必同胚于n维球面Sⁿ（1）．这里（Ioφ）_z是等距浸入Ioφ：M→R^n+p+1在z方向上的高度函数，I：S^n+p→R^n+p+1是

子流形高斯像的几何与拓扑性质研究

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