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利用最优参数选择方法数值求解微分方程的周期问题

作　者: 廖玉梅
导　师: 韦维
学　校: 贵州大学
专　业: 运筹学与控制论
关键词: 微分方程脉冲微分方程周期解最优参数选择问题数值计算方法梯度计算
分类号: O241.8
类　型: 硕士论文
年　份: 2008年
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内容摘要

本文主要考虑如下微分方程周期问题：其中x（t）=（x₁（t），…，x₂（t））^T是Rⁿ中的实值向量函数，t是时间变量，T是最小正周期，f（t，x（t））为[0，T]×Rⁿ上连续的向量值函数。在假定问题（1）的周期解已存在且稳定的前提下，探讨一种数值计算方法。在微分方程周期问题的数值求解中，由于初始值的未确定性，不能直接采用常微分方程初值问题的求解法去求解，使得周期问题的数值求解困难。而常微分方程初值问题的数值求解方法发展得比较成熟和完善，例Euler法，Runge-Kutta方法等，本文主要通过引入一个参变量ξ，将微分方程的周期边值问题转化为带参数的初值问题，通过对初值问题和最优参数的选择，达到求解周期解的目的。具体过程如下：首先，对系统（1）我们引入参变量ξ，将问题（1）转化为：其中ξ=（ξ₁，ξ₂，…，ξ_n）^T∈Rⁿ。定义目标泛函为：J（ξ）=1/2‖x（T）-ξ‖² （3）定义最优参数选择问题（P）：对于系统（2），寻找一个系统参数ξ∈Rⁿ，使得目标泛函（3）达到最小值。最优参数选择问题可以视为非线性规划问题，我们通过计算其目标函数的梯度，将最优参数选择问题变为一个数学规划问题，利用已有数学规划技巧将其解出。论文针对周期己知和未知两种情形，给出相应的算法。同时，论文还讨论了脉冲周期微分系统的计算，如下这时的状态x（t）不是一个连续的过程，不能采用通常方法求解。通过引入变换y_i（S）=x(t_i-1+(t_i+t_i-1)s)，0≤s≤1，i=1，2，…，N．将方程组（4）由N个不连续的区间转化为在[0，1]区间上N×n个方程组，从而得到等价的最优参数选择问题（MP2）：寻找参向量ξ^*∈Rⁿ，使得（?）（ξ）=1/2‖y_N（1）-ξ‖²在ξ^*∈Rⁿ处达到最小，即（?）（ξ^*）≤（?）（ξ），对（?）ξ∈Rⁿ都成立。针对最优参数选择问题（MP2），论文给出了脉冲周期微分系统求解周期解的算法。最后，我们应用最优参数选择问题软件包，分别就周期已知方程、方程组、周期未知及脉冲微分方程周期问题计算了四个数值例子，说明我们算法的可行性和有效性。

利用最优参数选择方法数值求解微分方程的周期问题

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