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马尔科夫切换型随机微分方程的数值稳定性

作　者: 王要策
导　师: 胡良剑
学　校: 东华大学
专　业: 应用数学
关键词: 马尔科夫链 Euler-Maruyama方法 Milstein方法强一阶显式方法几乎必然指数稳定 p阶矩指数稳定
分类号: O211.63
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

马尔科夫切换型随机微分方程可用于解释环境突然发生变化的物理过程以及在不同市场条件下进行切换的金融模型。马尔科夫链的引入可以描述不同金融模型结构间的切换。例如,股票市场在熊市和牛市具有不同的特征,用一个常规的随机微分方程模型难以表达,这时我们就可以应用马尔科夫切换型随机微分方程将他们表达出来。因此带马尔科夫切换的随机微分方程方程在复杂的金融市场研究中发挥着重要的作用。马尔科夫切换型随机微分方程往往不存在解析解,所以其主要解法是数值近似方法,如Euler-Maruyama方法,Milstein方法,强一阶显式方法等。数值稳定性是微分方程数值解法的一个重要性质。不稳定性的数值方法往往会造成舍入误差的恶性增长并导致数值解的失真,因此研究数值稳定性就显得非常重要。本文先研究马尔科夫切换型随机微分方程的欧拉近似解的具体稳定区域。接着对马尔科夫切换型随机微分方程Milstein方法数值解的p阶矩指数稳定性问题做了研究。对于一维线性乘噪声试验方程,本文证明了存在一个步长范围使得Milstein方法的数值解是p阶矩指数稳定性的。特别的,对于均方稳定性而言,本文的存在性条件比现有文献要弱。同时,本文又进一步研究了一种高阶数值方法：强一阶显式方法。证明了存在一个步长范围使得强一阶显式方法的数值解是p阶矩指数稳定的。本文还给出了一类时变的马尔科夫切换型随机微分方程的解的稳定性条件。

全文目录

摘要  5-6
ABSTRACT  6-10
第1章前言  10-13
  1.1 历史背景  10-11
  1.2 发展现状  11-12
  1.3 本文结构  12-13
第2章基础知识  13-18
  2.1 随机微分方程的基本概念  13-14
  2.2 马尔科夫切换型随机微分方程  14-15
  2.3 数值方法及其稳定性  15-18
第3章马尔科夫切换型随机微分方程的数值稳定性  18-41
  3.1 马尔科夫切换型随机微分方程的Euler-Maruyama方法的p阶矩指数稳定性  18-29
  3.2 马尔科夫切换型随机微分方程的Milstein方法的p阶矩指数稳定性  29-34
  3.3 马尔科夫切换型随机微分方程强一阶显式方法的p阶矩指数稳定性  34-39
  3.4 一个例子  39-41
第4章时变马尔科夫切换型随机微分方程的稳定性  41-46
  4.1 一维线性时变马尔科夫切换型随机微分方程的稳定性  41-44
  4.2 多维时变的马尔科夫切换型随机微分方程的稳定性  44-46
第5章结论与展望  46-47
  5.1 本文结论  46
  5.2 研究展望  46-47
参考文献  47-51
攻读硕士期间发表的论文  51-52
致谢  52

马尔科夫切换型随机微分方程的数值稳定性

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