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Operad以及相关代数的研究

作　者: 张永
导　师: 李方；郭锂
学　校: 浙江大学
专　业: 基础数学
关键词: operad Koszul 完全相容二代数 tridendriform代数双模 Rota-Baxter代数匹配二代数匹配对半直和左对称代数线性相容二代数 Homotopy Transfer定理 cobar构造自对偶合成重写定理同伦收缩
分类号: O189.2
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
下　载: 3次
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内容摘要

本文的主要结果分为四个部分.首先,我们介绍了operad的定义及其等价定义.特别我们给出对称operad和非对称operad的定义及其相互推导的过程.在operad的组合定义中,我们主要介绍了非对称operad的组合定义,同时介绍了其它常见类型的operad的组合定义中常用的树,比如循环operad,混合(shuffle) operad等.接下来,我们介绍了operad和同伦理论的关系,主要解释如何在operad理论中得到相应的同伦代数.最后,我们举例介绍了operad的最新进展.接下来,我们讨论的是完全相容二代数和完全相容李二代数,即具有两个二元运算的向量空间分别满足所谓独立和非独立的结合性以及李代数条件.我们证明了完全相容二代数与双模代数和半同态都是密切相关.更重要的是,利用完全相容二代数,我们可以将之前关于Rota-Baxter代数和tridendriform代数的关系加以推广,从而得到Rota-Baxter完全相容二代数和tridendriform代数的关系.在完全相容李二代数上定义Rota-Baxter算子之后,我们可以把Rota-Baxter李代数推出PostLie代数这一事实推广到Rota-Baxter完全相容李二代数也可以得到PostLie代数.同时,我们根据一般泛代数的性质讨论了完全相容二代数和Rota-Baxter完全相容二代数的自由对象.其次,我们研究了与完全相容二代数相对应的operad2As的Koszul对偶operad,记作As2.它是一个非对称的operad,与之相应的代数叫作线性相容二代数,即运算和运算之和均满足结合律.我们同时利用重写定理证明了operad As2和2As均是Koszul最后我们给出了As2-代数下的Homotopy Transfer定理,即刻画了As∞2-代数的结构.最后,我们给出了匹配二代数的系统研究,与之相对应的operad,记作As(2).与结合代数和泊松代数一样,As(2)是Koszul自对偶operad我们在第五章建立了匹配二代数和半同态以及匹配对之间的紧密联系.且由反对称性可知,匹配二代数结构可以得到相容李代数,左对称代数,PostLie代数.同样地,利用重写定理,我们验证As(2)是Koszul operad以及给出了匹配二代数的自由对象,并且利用张量积的语言给出了自由匹配二代数的结构.在第五章的最后,我们推广了As(2)的Koszul自对偶性质,并且构造了匹配二代数的同调群.

全文目录

致谢  4-5
中文摘要  5-6
Abstract  6-10
第一章引言  10-19
  1.1 背景  10-13
  1.2 步骤及主要结果  13-17
  1.3 布局  17-19
第二章预备知识  19-31
  2.1 代数operad  19-22
  2.2 完全相容二代数  22-27
  2.3 线性相容二代数的同伦代数  27-29
  2.4 匹配二代数  29-31
第三章 operad及其相关研究的综述  31-43
  3.1 代数operad的定义和分类  31-35
  3.2 代数operad的等价定义  35-38
  3.3 Operad的研究和发展  38-40
    3.3.1 Operad和Koszul性质  38-39
    3.3.2 Operad和同伦代数  39-40
  3.4 Operad的应用  40-43
第四章完全相容二代数及其相关性质  43-75
  4.1 完全相容二代数的自由性和一些例子  43-52
    4.1.1 完全相容二代数和半同态以及双模代数的关系  43-45
    4.1.2 自由完全相容二代数  45-52
  4.2 完全相容二代数和Rota-Baxter算子  52-58
  4.3 自由的Rota-Baxter完全相容二代数  58-75
    4.3.1 关于自由Rota-Baxter完全相容二代数的基的构造  58-62
    4.3.2 关于自由Rota-Baxter完全相容二代数的乘法构造  62-65
    4.3.3 关于乘法☉的结合性  65-67
    4.3.4 关于TCDA公理的其它公式的证明  67-68
    4.3.5 关于乘法*的结合性  68-69
    4.3.6 关于k(?)_∞的泛性质  69-75
第五章同伦代数和线性相容二代数  75-82
  5.1 完全相容二代数和operad As~2  75-79
  5.2 关于线性相容二代数的Homotopy Transfer定理  79-82
第六章关于匹配二代数的范畴和Operad  82-98
  6.1 匹配二代数与半同态和匹配对  82-84
  6.2 匹配二代数和李型(Lie type)代数  84-86
  6.3 Koszul性质和自由匹配二代数  86-91
    6.3.1 Operad As~((2))是Koszul  86-88
    6.3.2 自由匹配二代数  88-91
  6.4 Koszul自对偶operad  91-95
  6.5 匹配二代数的operadic同调  95-98
参考文献  98-106
在读期间完成的论文  106

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