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子流形几何中的刚性及变分问题

作　者: 陈航
导　师: 李海中
学　校: 清华大学
专　业: 数学
关键词: 极小子流形线性Weingarten超曲面拼挤定理稳定性特征值估计
分类号: O186.12
类　型: 博士论文
年　份: 2013年
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内容摘要

在子流形几何中,刚性问题和变分问题是两类重要问题,被几何学家广泛研究。刚性问题可以通过各种拼挤(pinching)定理来反映。对变分问题,我们可以研究临界点的稳定性和Jacobi算子的特征值。在本文中,我们运用子流形几何研究中的一系列方法,研究了乘积流形中的极小子流形的刚性和稳定性,球面中线性Weingarten超曲面的稳定性和特征值问题,以及乘积流形到任意黎曼流形的稳定调和映照。主要结果有三个方面：首先,我们研究了Sm(1)×R中的紧致极小子流形的刚性。我们得到了一个Simons型等式,进而分别证明了在Ricci曲率和截面曲率的拼挤条件下,关于Sm(1)×R中的紧致无边极小子流形的拼挤定理。通过上述拼挤条件,我们推出极小子流形实际上位于Sm(1)×{t0}≌Sm(1)中。通过Ricci曲率的拼挤条件,我们刻画了Clifford极小超曲面。通过截面曲率的拼挤条件,我们刻画了Veronese子流形。其次,我们用泛函F=∫M(a+nH)dv在保体积变分下的临界点刻画了Sn+1(1)中满足(n-1)H2+aH=b的线性Weingarten超曲面,其中a,b是常数。我们计算了该泛函的第一变分公式和第二变分公式,证明了此类线性Weingarten超曲面是稳定的当且仅当它是全脐但非全测地的超曲面,这推广了关于球面中的常平均曲率和常数量曲率超曲面的稳定性结果。我们还得到了与该变分问题相关联的Jacobi算子的第一特征值和第二特征值的最优上界估计。最后,我们研究了乘积流形中的紧致极小子流形的稳定性。我们证明了一个关于M1×M2中的稳定紧致极小子流形的分类定理,其中M1是欧几里得空间中的紧致超曲面,其维数m1≥3且截面曲率KM1满足1/(?)m1-1≤Km11≤1,M2是任意黎曼流形。这推广了Torralbo和Urbano的关于Sm(r)×M中的稳定紧致极小子流形的分类结果。特别地,我们证明了,当外围空间是M是欧几里得空间中的m维(m≥3)紧致超曲面且截面曲率满足1/(?)M+1≤KM≤1时,M中不存在稳定的紧致无边极小子流形。

全文目录

摘要  3-4
Abstract  4-8
主要符号对照表  8-9
第1章引言  9-20
  1.1 问题背景和主要结果  9-19
    1.1.1 极小子流形的刚性问题  9-12
    1.1.2 球面中的超曲面的变分问题、稳定性及特征值估计  12-16
    1.1.3 极小子流形与调和映照的稳定性  16-19
  1.2 结构安排和内容方法  19-20
第2章预备知识  20-24
第3章 S~m(1) ×R中极小子流形的刚性  24-36
  3.1 S~m(1) ×R中的子流形的基本方程和Simons型等式  24-28
  3.2 Ricci曲率条件下的拼挤定理  28-33
    3.2.1 定理3.1的证明  28-31
    3.2.2 定理3.2的证明  31-33
  3.3 截面曲率条件下的拼挤定理  33-35
  3.4 数量曲率条件下的拼挤定理  35-36
第4章球面中的线性Weingarten超曲面的稳定性和Jacobi算子的特征值估计  36-54
  4.1 线性Weingarten超曲面和变分问题  36-40
  4.2 线性Weingarten超曲面的稳定性  40-45
  4.3 Jacobi算子的特征值估计  45-54
    4.3.1 两个例子  45-47
    4.3.2 第一特征值的上界估计  47-49
    4.3.3 第二特征值的上界估计  49-54
第5章乘积流形中的稳定极小子流形和稳定调和映照  54-72
  5.1 一个判别乘积流形中极小子流形稳定性的法则  54-57
  5.2 一类乘积流形中的稳定极小子流形的分类  57-64
  5.3 乘积流形的调和映照的稳定性问题  64-72
第6章结论  72-74
  6.1 本论文的主要工作  72-73
  6.2 可进一步开展的研究工作  73-74
参考文献  74-79
致谢  79-81
个人简历、在学期间发表的学术论文与研究成果  81

子流形几何中的刚性及变分问题

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