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不动点问题一直是泛函分析中研究的主要方向之一,并且在代数方程、微分方程、积分方程等有着广泛的应用.本文主要针对凸度量空间,通过构造不同的条件,得出一些不动点方面的定理.第一章,介绍了凸度量空间的概念,以及凸度量空间中一些已有的不动点定理.第二章,给出了公共不动点的定义,并且得到了凸度量空间中单值映射在不同条件下的公共不动点定理,其主要内容如下：第一部分,(X,d)为具有I性质的凸度量空间,c为X的紧子集.映射T,G：C→X是可交换映射而且满足T是G非扩张的以及G2=G.如果G是连续的、仿射的,子集C是G星形的,那么T和G在C中有唯一的公共不动点.第二部分,(X,d)是具有凸结构W的凸度量空间.K是X的一个非空闭子集,映射f,g是K上可相容的映射而且对于所有的x,y∈K,有d(fx,fy)≤ad(gx,gy)+b max{d(gx,fx),d(gy,fy)}+c max{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)},其中a,b,c≥0而且a+b+2c=1,b(1-b)/(2+b)>c.如果f(K)∈g(K),g既是W仿射又是连续的,那么存在一个唯一的f和g的公共不动点z,而且f在z这一点连续.第三章,介绍了凸度量空间中的多值映射的概念,得到了多值映射在凸度量空间中的共同点定理,即：(X,d)是凸度量空间且K为X的闭子集.令T,S：K→CB(X)是一对多值映射,f,g：K→X是一对单值映射,对于任意x,y∈X满足：H(Sx,Ty)≤ad(fx,gy)+βmax{D(fx,Sx),D(gy,Ty)}+γmax{D(fx,Sx)+D(gy,Ty),D(fx,Ty)+D(gy,Sx)}其中α,β,γ≥0且满足：λ=α+2β+3γ+αγ<1.(ⅰ)(?)K∈fk∩gK；(ⅱ)Sk∩K∈gK,TK∩K∈fK；(ⅲ)fx∈(?)K推出Sx∈K,gx∈(?)K推出Tx∈K.f(K)和g(K)是完备的,那么在K中存在u和w使得：fu∈Su,gw∈Tw,fu=gw和Su=Tw.第四章,介绍了(E.A)性质,得到了具有(E.A)性质映射的公共不动点定理：(X,d)是凸度量空间,K为X的一个非空闭子集.映射f和g是K上的自映射,满足不等式.：d(fx,fy)≤ab(gx,gy)+b max {d(gx,gy),d(gy,fy)}+c max{d(gx,fx)+d(gy,fy),d(gx,gy)+d(gy,fx)}其中a,b,c为非负实数,且满足a+b+2c=1.若g是W仿射的,fK∈gK且gK(或fK)是X的完备子集,那么(ⅰ)f和g存在一个共同点v;(ⅱ)若f,g是弱相容的,那么fv=u是f和g的公共不动点；(ⅲ)若映射g在u点连续,那么f在u点连续.
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