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上半空间积分方程组的正解的相关性质

作　者: 卓然
导　师: 郭宗明
学　校: 河南师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 积分方程组积分形式的移动平面法正则性径向对称上半空间单调性
分类号: O175.5
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 4次
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内容摘要

文章主要考虑了在上半空间的积分方程组的解以及解的相关性质,其中R+n表示Euclidean空间的上半空间,x*=(x1,…,xn-1,--xn)是点x关于平面Rn-1的对称点,假设u∈Lq+1(R+n),u∈Lp+1(R+n)并且p和q具有如下关系下面我们主要得到如下定理：定理3.1假设(u(x),u(x))是积分方程组(0-1)的一组正解,并且u∈Lp+1(R+n),u∈Lq+1(R+n).那么(u(x),u(x))在R+n上是一致有界的,并且(u(x),u(x))是连续的.定理3.2对于积分方程组方程(0-1)的每一组正解(u(x),u(x))都是关于R+n中某一平行于xn轴的平面径向对称且单调递减,其中p,q>1.定理3.3设(u(x),u(x))是积分方程组的一组光滑正解,那么(u(x),u(x))满足k=0,1…,α/2-1.设Rn是n维Euclidean空间,并且0<α<n的实数.考虑积分方程组其中1/q+1+1/p+1=n-α/n.当p=q,u(x)=u(x)时,(0-3)就变成以下的积分方程(0-4)来源于一个在紧空间上的Euler-Lagrange方程(见[17]).在文[17]中,Lieb把函数的极大值进行了分类,因此我们可以得到Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的最佳常数.他也分类了函数的所有临界点,因此解决积分方程(0-4)就成为了公开问题.在文[11]中,Chen, Li,以及Ou利用移动平面法解决了Lieb的公开问题.他们证明了如下引理：引理对于(0-4)的每个具有正则性的正解都是关于某个点xo径向对称且单调递减的,因此我们可以假设这个解具有如下形式其中c和t表示某个正的常数.他们也建立了这个积分方程和下面的半线性微分方程的等价性在特殊情形α=2时,我们有一系列关于这个解的分类的结果(见[2],[5],[16],以及[18]).最近,Wei和Xu[29]已经得到了α是0到n之间的任意偶数时的结果.我们能够证明积分方程组(0-3)于以下的微分方程是等价的在特殊情形α=2时,它变为众所周知的Lane-Emden问题.在上半Euclidian空间会出现带有Navier边界条件的同样的方程.特殊情况下,当α为偶数时,我们得到k=0.1…,α/2-1

全文目录

摘要  3-6
ABSTRACT  6-10
第一章引言  10-16
第二章预备知识  16-26
  §2.1 一般极值原理  16-18
  §2.2 积分方程的极值原理  18-20
  §2.3 相关不等式  20-26
第三章上半空间积分方程组的正解的相关性质  26-38
  §3.1 解的正则性  26-29
  §3.2 解的对称性  29-35
  §3.3 上半空间积分方程组与微分方程组的等价性  35-38
参考文献  38-42
致谢  42-44
攻读硕士学位期间发表或写作的学术论文  44-46

上半空间积分方程组的正解的相关性质

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