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动力系统方法解决不适定问题

作　者: 李鹤
导　师: 吴开谡
学　校: 北京化工大学
专　业: 应用数学
关键词: 反问题动力系统方法正则化算子半群
分类号: O19
类　型: 硕士论文
年　份: 2011年
下　载: 12次
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内容摘要

近几十年来,数学物理反问题的学科发展十分迅速。该学科的发展,很大程度上受其他学科和众多工程技术领域的应用中所产生的迫切需求所驱动。数学物理反问题现在已不再单纯的是数学和物理中的反问题,由于科学技术的发展和研究范围的扩大,地质、图象、遥感、石油勘探、医学、金融、经济乃至生命科学都提出了由“结果”(观测)探求“原因”(待反演参数)的反问题。因而,反问题具有涉及面广,内容丰富,跨行业,跨学科等特点。从反问题的研究方法来看,它更多应用到了计算数学、应用数学和统计学的知识,可以说数学的理论与方法是反问题研究的基础。在科学发展史上,反问题代表了最活跃和令人振奋的交叉学科之一。绝大多数的反问题都是不适定的。解决不适定问题的方法有很多。本文主要利用动力系统方法解决第一类不适定的算子方程。根据算子的性质,将该类方程分为线性的和非线性的,并分别加以讨论。对于线性的算子方程,可写为Au=f,其中A是实Hilbert空间H上的一个线性算子.利用动力系统方法和正则化方法,求解上述问题的正则化问题的解：u’(t)=-A*(Au(t)-f)利用线性算子半群理论可以得到上述正则化问题的解的半群表示,并证明了当t→∞时,所得的正则化解收敛于原问题的解。对于非线性的算子方程,可写为F(x)=y,其中F：D(F)(?)X→Y是非线性的可微算子,X,Y为Hilbert空间,算子F的Frechet导数F’(u)局部一致有界。利用动力系统方法和正则化方法,求解上述问题的正则化问题的解：u’(t)=F’(u(t))*(yδ-F(u(t))),t≥0,u(0)=x0。由于非线性的方程并不能直接求出正则化解,故需将其离散化,变形为指数Euler格式：u(n+1)=un+hnφ(-hnJ(un))F’(un)*(yδ-F(un))。其中J(u)=F’(u)*F’(u),φ=e(?)。并证明了当n→∞时,所得的正则化解收敛于原问题的解。

全文目录

摘要  5-7
ABSTRACT  7-14
第一章引言  14-22
  1.1 背景  14-18
  1.2 基本定义及动力系统方法  18-20
    1.2.1 基本定义  18-20
    1.2.2 动力系统方法  20
  1.3 本文的主要工作  20-22
第二章动力系统方法解决不适定的线性算子方程  22-30
  2.1 动力系统方法  22-23
  2.2 主要结果  23-30
    2.2.1 准确数值  23-24
    2.2.2 扰动数值  24-25
    2.2.3 变分原理  25-30
第三章解决非线性不适定问题的离散的动力系统方法  30-40
  3.1 求解非线性不适定算子方程的基本思想  30-31
  3.2 Euler正则化方法  31-32
  3.3 收敛分析  32-40
    3.3.1 假设  32
    3.3.2 连续情况  32-33
    3.3.3 离散情况  33-40
参考文献  40-42
致谢  42-44
研究成果及发表的学术论文  44-46
作者及导师介绍  46

动力系统方法解决不适定问题

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