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双曲空间上半线性热方程的若干动力学性质

作　者: 王智勇
导　师: 尹景学; 王春朋
学　校: 吉林大学
专　业: 应用数学
关键词: 双曲流形半线性热方程动力学性质
分类号: O175
类　型: 博士论文
年　份: 2012年
下　载: 35次
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内容摘要

众所周知,双曲空间HN作为负常截面曲率黎曼流形的代表与N维单位球面SN,N维欧氏空间RN构成了在相似等价意义下的常截面曲率完备单连通N维黎曼流形的一个分类[46,定理8.6.2].近年来双曲空间上的偏微分方程在国际上受到越来越多的关注.双曲空间上的波方程[47],薛定谔方程[7,8,2],椭圆方程[38,11,5],双曲空间及其子区域上的热方程[6,45]已经或正在成为研究的热点.欧氏空间上某些重要结果被成功推广的同时,人们更看到了双曲空间上的偏微分方程还具有许多独特的现象.本文研究如下双曲空间上半线性热方程Cauchy问题解的动力学行为其中p>1,a>0,u0∈C(HN)∩L∞(HN),u0(x)≥0.本文的第一部分考虑空间的整体几何性质对解特别是小初值情形下解的长时间行为的影响.值得注意的是,当α=0时,如果在欧氏空间或非负Ricci曲率的流形上考虑上述问题,则必然存在Fujita指标[20,53],而在双曲流形上这个指标是不可能存在的,见本文引理2.2.1.当α>0时,Bandle, Pozio和Tesei [6]证明了存在临界指标pH*=1+λ0-α,其中λ0=(2-N-1)2,使得当1<p<pH*时所有的非负非平凡解都在有限时间爆破,当p>pH*时或者当p取临界指标pH*且α>3-2λ0时,既存在正的全局小解,又存在有限时刻爆破解.当p=pH*且α≤3-2λ0时,他们给出了爆破解的存在性.我们在第二章证明了当p=pH*且0<α≤3-2λ0时全局小解的存在性.这一结果与文[6]的结果相结合,不仅给出了问题(1)的Fujita指标问题的完整刻画,还揭示了区别于欧氏空间和具非负Ricci曲率流形上同类问题的一个新现象：问题(1)的Fujita临界指标不是爆破指标.空间的几何特征给这一结论的证明造成了区别于欧氏空间的本质困难.我们通过一个适当的变换,使得方程右端不显含时间变量,然后借助双曲空间上椭圆方程的理论来构造全局上解.作为本文的第二部分,我们考虑空间的局部几何性质对问题解的影响.我们揭示了欧氏空间上半线性热方程的一些已有深入研究的由空间的局部性质决定的结果在双曲空间上仍然成立,例如大初值爆破解的生命跨度.爆破集和解在爆破之后的可延拓性.据我们所知,这是首次在流形上讨论这些问题.我们在第三章研究解的生命跨度和初值衰减率间的关系.第四章讨论解的爆破集合,证明具有径向递减初值的解的爆破集是单点集.第五章讨论解爆破之后的延拓问题,给出了完全爆破(即解不能再爆破时间之后做有界延拓)的充分条件.这部分的结果表明如果某种性质是由短时间局部的爆破决定的,那么双曲空间和欧氏空间上热方程的行为相近.以上问题与欧氏空间中类似问题的区别主要体现在以下两个方面.一方面,双曲空间上的热核与欧氏空间中的热核有明显的区别,特别是高维情形.而方便用于估计的热核的近似表达式和欧式空间的热核相比因具有关于位置和时间额外的非线性项也使得与热核相关的估计更加复杂.另一方面,与欧氏空间的不同之处还表现在,双曲空间上的热方程不具有伸缩不变性.因而,无法使用许多依赖方程的伸缩不变性和空间的伸缩变换相配合的证明技巧.我们使用更细致的分类估计结合热核的半群性质,并通过考虑局部上解来克服这些困难.

全文目录

中文摘要  5-8
Abstract  8-14
绪论  14-20
第一章双曲流形和双曲空间上热方程介绍  20-28
  1.1 双曲流形的定义  20-22
  1.2 双曲流形上Laplace-Beltrami算子的谱和热核  22-24
    1.2.1 -Δ_H~N的谱  22
    1.2.2 双曲空间中的热核  22-24
  1.3 双曲空间上的半线性热方程  24-28
    1.3.1 问题和解的定义  24-26
    1.3.2 解的局部存在性和唯一性  26-27
    1.3.3 上下解的比较定理  27-28
第二章 Fujita指标问题  28-38
  2.1 引言  28-29
  2.2 双曲空间和欧氏空间半线性热方程爆破指标问题的比较  29-33
  2.3 临界指标下全局小解的存在性  33-38
第三章初值为λΦ(x)时解生命跨度问题  38-68
  3.1 引言  38-39
  3.2 λ→∞时解的生命跨度问题  39-44
  3.3 λ→0时解的生命跨度问题  44-55
    3.3.1 预备引理和线性估计  44-48
    3.3.2 λ→0时生命跨度的下界估计  48-49
    3.3.3 最优的生命跨度估计  49-52
    3.3.4 次临界时的生命跨度估计  52-55
  3.4 λ→0时超临界和临界的生命跨度问题  55-68
    3.4.1 超临界情形小解的爆破准则  56-59
    3.4.2 生命跨度的上界估计  59
    3.4.3 爆破准则的最优性  59-62
    3.4.4 临界情形小解的爆破准则  62-64
    3.4.5 临界情况下解的生命跨度的估计  64-68
第四章解的爆破集合  68-80
  4.1 引言  68-69
  4.2 解保持初值的形状  69-72
  4.3 证明解的单点爆破  72-80
第五章解在爆破之后的可延拓性  80-94
  5.1 引言  80-81
  5.2 完全爆破的定义和主要定理  81-82
  5.3 预备引理  82-85
  5.4 解在爆破点周围的一致下界估计  85-90
  5.5 证明解的全局爆破  90-94
第六章结论  94-98
参考文献  98-106
作者简介及科研成果  106-108
致谢  108

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