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Pillai算术函数的均值问题

作　者: 李静
导　师: 翟文广
学　校: 山东师范大学
专　业: 基础数学
关键词: Dirichlet卷积原理渐近公式 k-full数留数定理 Perron公式
分类号: O156.4
类　型: 硕士论文
年　份: 2013年
下　载: 4次
引　用: 0次
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内容摘要

设gcd(a,b)表示a,b的最大公约数,则Pillai算术函数(也称为最大公约数的和函数)的定义如下1933年Pillai证明了其中φ为Euler函数,σ(n)为n的正除数的和函数.对P(n)应用卷积可以得到渐近公式1985年Chidambaraswamy和Sitaramachandrarao证明了其中A1,A2为可以计算的正常数,e表示任意小的正数,0<θ<1/2由Dirichlet除数问题确定.L.Toth首先证明了P(n)倒数的均值估计其中陈世钦和翟文广进一步改进结果,得到渐近公式其中N是一个固定的正整数,Kj是可以计算的常数.函数A(n)表示ged(1,n),…,ged(n,n)的均值,定义L.T6th证明了其中C1,C2,C3,C4为常数,e表示任意小的正数.除数函数的均值估计为其中K1=1/6,K2,K3,K4为常数,e表示任意小的正数.假设α4<1/2,则的余项为0(x1/2δ(x)),其中e是一个正常数.在Riemann(?)段设下余项可以改进为如果α4=3/8成立,则在Riemann假设下,指数本文主要研究Pillai算术函数的均值问题,我们的主要结果如下：定理1在Riemann假设下其中P3(logx)表示log x的3次多项式,e表示任意小的正数.定理2其中kj为常数,N为任意的正整数.本文还研究k-full数集上函数A(n)的分布情况,一个正整数n是k-full数是指：p是n的素因子,则pk|n,即它的素因子分解式必有形式n=p1α1p2α2…prαr,(α1≥k,α2≥k,…,αr≥k).取δk(n)对于任意正整数n,如果是k-full数,我们记为1；否则记为0,即我们称δk(n)为k-full数的特征函数.定义我们有如下结果定理3s2(x)=x1/2(P2(logx))+x1/3(P3(logx))+O(xσ2+∈),其中Pk(log x)表示log x的k次多项式,e表示任意小的正数.定理4S3(x)=x1/3(P3(logx))+x1/4(P4(logx))+x1/5(P5(logx))+O(xσ3+∈),其中σ3=49900988/257718336=0.1936261...,Pk(log x)表示log x的k次多项式,∈表示任意小的正数.此外,我们还研究函数A(n)的小区间估计,有如下结果定理5如果x黑+∈≤g≤x,我们有这里C1=1/ζ(2),C2=2λ/ζ(2)—ζ1(2)/ζ(2),ζ(s)为Riemann Zeta函数,∈表示任意小的正数.

全文目录

中文摘要  5-8
英文摘要  8-12
符号说明  12-13
§1 引言  13-16
§2 基本引理  16-18
§3 定理1的证明  18-21
§4 定理2的证明  21-23
§5 定理3的证明  23-25
§6 定理4的证明  25-28
§7 定理5的证明  28-31
参考文献  31-33
攻读学位期间发表学术论文目录  33-34
致谢  34

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