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Lipschitz函数的极小化理论与统一算法

作　者: 周厚春
导　师: 孙文瑜
学　校: 南京师范大学
专　业: 基础数学
关键词: J-L次微分广义不变凸函数广义不变单调集值映射非光滑规划混合对偶极小极大分式规划非单调线搜索算法非单调信赖域算法
分类号: O241
类　型: 博士论文
年　份: 2004年
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内容摘要

本文主要研究目标函数和约束函数都是局部Lipschitz函数的非光滑最优化问题。内容涉及到局部Lipschitz函数的广义不变凸性，集值映射的广义单调性，在没有任何约束规格条件下的各种非光滑最优化问题的最优性充分条件和必要条件，混合对偶理论，Lagrange鞍点理论以及非光滑单目标优化问题的非单调线搜索算法和信赖域算法。分四部分介绍如下：一、局部Lipschitz函数的广义不变凸性和集值映射的广义单调性利用Jeyakumar和Luc给出的局部Lipschitz函数的J-L次微分(也称为convexificator)的定义，引入了非光滑的广义(严格)不变拟凸函数和广义(严格)不变伪凸函数以及集值映射的广义(严格)不变拟单调性和广义(严格)不变伪单调性，研究了广义不变凸性与广义不变单调性之间的关系，特别地，分别建立了一个局部Lipschitz函数的不变拟凸性和它的J-L次微分映射的不变拟单调性之间的充分必要条件，以及一个局部Lipschitz函数的(严格)不变伪凸性和它的J-L次微分映射的(严格)不变伪单调性之间的充分必要条件。二、非光滑最优化问题的最优性条件，混合对偶理论以及Lagrange鞍点理论不需要任何约束规格条件，建立了非光滑数学规划的一阶最优性充分必要条件，以此为基础建立了几类非光滑最优化问题的混合对偶规划，并且在没有任何约束规格条件下证明了弱对偶定理，强对偶定理以及Lagrange函数的鞍点存在性定理。对于极小极大分式规划和凸的广义极小极大分式规划，分别建立了它们的混合对偶规划。该对偶规划统一了著名的Mond-Weir对偶模型，Wolfe对偶模型和参数对偶模型，基本上解决了由Lai、Liu和Tanaka在1999年提出的两个问题。三、非光滑最优化问题的非单调线搜索算法把强制函数应用于非单调线搜索技术，并且把该技术应用到目标函数是局部Lipschitz函数的非光滑无约束最优化问题的研究中去，得到了一个非单调线搜索方法的一般框架，并且建立了该方法的全局收敛性结果。作为特殊情况，可以得到非光滑无约束最优化问题的线搜索算法的广义Armijo-准则，广义Goldstein-准则和广义Wolfe-准则。四、非光滑最优化问题的非单调信赖域算法研究了无约束非光滑最优化问题的非单调信赖域算法模型，算法中所解的信赖域子间题是Qi和Sun在阵刁中研究的，子问题含有一个迭代函数，因此具有一般性.一方面，我们将非单调技术用于Qi和Sun的信赖域算法，给出了一个非光滑无约束极小化间题的一个非单调信赖域算法，并且证明了该算法是整体收敛的.非单调信赖域算法可以保证，当迭代点进入弯曲的峡谷中时，算法有较好的收敛速度.但是，对此非单调信赖域算法我们只能证明，由算法产生的迭代点列中存在一个聚点是稳定点的收敛性质.因此，我们采用Toint的思想对算法进行了改进，给出了问题(P)的一个修正的非单调信赖域算法，该算法有较好的收敛性质，由该算法产生的迭代点列中每一个聚点都是一个临界点.另一方面，在同样的假设条件下，我们给出一个间题(P)的半径有下界的信赖域算法.这个算法是也是一个标准的信赖域算法，唯一的区别在于成功迭代后的信赖域半径的修正，算法选择了一个较小的半径△二‘。做为新的半径的下界.另外，我们用传统的方法给出算法的收敛性证明. 最后，我们用类似的方法研究了LC‘间题，即目标函数的梯度Vf是一个局部Lipschitz函数.通过解孙文瑜等人用二阶Dini方向导数建立了的一种新的信赖域子间题，给出了一个LC‘间题的一个非单调信赖域算法，并且证明了该算法是整体收敛的.

全文目录

第一章概述  11-16
  1.1 引论  11-13
  1.2 本文的工作  13-16
第二章广义不变凸函数和广义不变单调集值映射  16-32
  2.1 记号与几个引理  16-18
  2.2 不变拟凸函数和不变拟单调集值映射  18-24
  2.3 不变伪凸函数和不变伪单调集值映射  24-29
  2.4 严格不变伪凸函数和严格不变伪单调集值映射  29-32
第三章无约束规格的非光滑非线性规划的最优性条件，对偶理论和Lagrange乘子  32-67
  3.1 伪凸规划的一阶最优性充分必要条件  32-40
    3.1.1 本节的目的  32-33
    3.1.2 定义和引理  33-37
    3.1.3 一阶最优性充分必要条件  37-40
  3.2 伪凸的非光滑单目标规划  40-45
    3.2.1 问题(P)的混合对偶模型  40-43
    3.2.2 Lagrange鞍点  43-45
  3.3 伪凸的非光滑多目标规划  45-56
    3.3.1 记号和引理  45-47
    3.3.2 充分条件和必要条件  47-49
    3.3.3 混合对偶规划(XDMP)  49-51
    3.3.4 多目标规划的不完全Lagrange向量函数  51-56
  3.4 非光滑伪凸的极小极大分式规划  56-67
    3.4.1 记号与引理  57-59
    3.4.2 最优性充分条件和必要条件  59-62
    3.4.3 混合对偶  62-67
第四章无约束规格的广义极小极大凸分式规划  67-85
  4.1 问题的提出  67-68
  4.2 广义极小极大分式规划(GFP)的等价问题  68-69
  4.3 记号与引理  69-72
  4.4 最优性必要条件和充分条件  72-76
  4.5 一阶参数对偶模型  76-78
  4.6 混合对偶模型  78-82
  4.7 Lagrange鞍点  82-85
第五章 Lipschitz函数极小化问题的一个统一的非单调线搜索算法  85-94
  5.1 问题的提出  85
  5.2 非单调线搜索算法的一般准则  85-88
  5.3 算法的全局收敛性  88-90
  5.4 三种常用的非单调线搜索准则  90-93
  5.5 说明  93-94
第六章 Lipschitz函数极小化的非单调信赖域算法  94-115
  6.1 非光滑无约束极小化问题的一个非单调信赖域算法  94-100
    6.1.1 问题的提出  94
    6.1.2 基本假设和算法NTR1  94-96
    6.1.3 算法NTR1的全局收敛性  96-99
    6.1.4 应用  99-100
  6.2 一个修正的非单调信赖域算法  100-106
    6.2.1 问题的提出  100
    6.2.2 基本假设和算法NTR3  100-101
    6.2.3 算法NTR3的全局收敛性  101-105
    6.2.4 应用  105-106
  6.3 一个半径有下界的信赖域算法  106-110
    6.3.1 算法NTR5和基本假设  107
    6.3.2 算法NTR5的收敛性  107-110
  6.4 LC~1无约束极小化问题的一个非单调信赖域算法  110-115
    6.4.1 问题的提出  110-111
    6.4.2 算法和基本假设  111-112
    6.4.3 算法的收敛性  112-115
参考文献  115-120
附录一攻读博士学位期间已经发表和被录用的论文  120-121
附录二攻读博士学位期间进行的科研项目  121-122
附录三攻读博士学位期间已投稿的论文  122-123
附录四致谢  123

Lipschitz函数的极小化理论与统一算法

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