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向前向后鞅分解和马氏过程大偏差

作　者: 蒋义文
导　师: 吴黎明；刘禄勤
学　校: 武汉大学
专　业: 概率论与数理统计
关键词: 向前向后鞅分解马尔可夫过程拟对称中心极限定理大偏差原理
分类号: O211.62
类　型: 博士论文
年　份: 2003年
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内容摘要

本论文包括三个部分的内容：一是马尔可夫过程的向前向后鞅分解，我们主要致力于将此分解推广并应用于非对称马氏过程。二是研究从任意初始测度出发的非不可约马氏过程大偏差原理。三是给出跳过程的可加泛函和局部时的精确表达式。马尔可夫过程的向前向后鞅分解是80年代中期由Meyer-Zheng(1985)和Lyons-Zheng(1987)首先发现并加以研究和应用的随机分析中的一种重要方法，是对称马氏过程或狄氏型理论的重要新工具之一，也是研究概率论极限理论的一个强有力的工具。它在九十年代直至现在得到了许多发展，用途很广。但是，近十多年来，向前向后鞅分解的研究和应用主要集中在对称马尔可夫过程情形，因而在理论和应用上有其局限性。吴黎明于1999年发表的文章突破了对称性的束缚，将向前向后鞅分解推广到了非对称马尔可夫过程情形。我们首先将吴黎明得到的非对称马尔可夫过程的向前向后鞅分解由实值可加泛函情形推广到一般Hilbert值可加泛函情形，由此导出紧性判别准则、极大不等式和经验过程的泛函型中心极限定理。作为其在非对称情形下的应用，得到了拟对称马尔可夫过程经验测度的泛函型中心极限定理，并且在拟对称情形，此泛函型中心极限定理的条件是最佳的，且推广了两个法国人于2000年得到的在独立同分布情形的结果。其次，我们将Lyons-Zheng的平均穿越次数估计和Meyer-Zheng拓朴的紧性判别准则由对称马尔可夫过程情形推广到非对称情形。第三，马氏过程的大偏差理论是Donsker-Varadhan在七十年代建立的，在过去的二、三十年中得到了长足发展。但已知工作中的一个共同点是不可约性或本质不可约性假设。此(本质)不可约性假设尽管很自然，然而对生物学中经常出现的马氏过程不适用。一但马氏链是非不可约的，整个大偏差理论有待于重建。主要的困难在于不可约条件下的现有经典技术在非不可约情形下不再有效，而且还要去猜测速率函数。本文成功地去掉了(本质)不可约性假设，所使用的技巧与通常的不同，且得到的速率函数与经典不可约情形不一致，它是非凸的.最后这一点是新颖的，它同时也说明了通用的G缸tner一Ellis定理不可用. 最后我们给出了跳过程的可加泛函和局部时的精确表达式以及跳过程的一致泛函型中偏差原理，并将所得结果应用于生灭过程. Lyons一Meyer一Zheng(即郑伟安)向前向后鞍分解是八+年代由Meyer-zheng(1985)【55」和Lyons一Zheng(1987)【51」发现的，是对称马氏过程或狄氏型理论的重要新工具之一设E是具有可数基的局部紧Hausdorff空间，m是E上正Radon测度且其支撑为suPP(。)二E.设(刃(句，句是护(E，m)上的Dirichlet空间，一A是与万有关的无界正定自伴算子.考虑取值于E的连续马尔可夫过程牌，厂，(入)，(Xt)，(0。)，(尸‘))，转移概率半群为(Pt)，A是其生成元.则对每一个固定初始测度户和一切f任刃(川，几犷是一个(入)一局部鞍.:一，(xt)一丈‘A，(xs)d一，(x0)由于A是护(E，仇)上的自伴算子，随机过程(0 .0.1)衅:一，(xl一)一芜‘，f(xl一)“一f(xl)，(。:‘:1)(0·。·2)是一个级一平方可积鞍，其中g‘=a(Xs，0兰t三5三1).LyonS一zheng发现，对一切f任刃(司有f(Xt)二f(X0)从神(f)(对广(f)一几了仁‘(f))(0 .0.3)，工10白十这就是对称马尔可夫过程的向前向后鞍分解. 据此分解，Lyons和Zheng得到了如下结论: a)若(Xt)。。[0，l}是取值于双”的平稳对称扩散过程，F和G是双”的两个不交闭子集，定义Q(只G):=inf{￡(。，u)}u。刃(￡)，u(x)=o当x oF且二(x)=1当x oG}设N([0，l]，X.，F，G)是过程(X。)上穿F和G的次数，则有派N(。。，‘]，X·，F，G)d，·:3‘Q‘只G，(0 .0.4) b)设(刃(氏)，氏)是与LZ(E，m。)有关的一列Diriehlet空间，p‘，“。是由与几有关的马尔可夫过程诱导的D[0，l]上的概率测度.如果sup。{}d“。/dm。{}co<co，对E的任意两个闭子集F和G，supQ(凡G)(氏)<co，则存在n的子列nl使得(尸肋汽，)弱收敛到某一概率测度尸。 1999年，A·Aneona，R.Lyons和Y.peres{11证明T暂留对称离散时间马尔可夫链的Dirichlet函数的一个上穿估计.设{可x，约;x，，任V}是可数集V上的不可约转移概率簇，瓜;n全0是具有转移概率为风x，的和任意初始状态和马尔可夫链。设该马尔可夫链是可逆的具有平稳概率测度7r，即武x)拭x，川=武夕)拭夕，x)，Vx，y任V定义函数f:V。双的Diriehlet能量为__、1一、、_、_、、。刀(f):=厄_谷，万(劣)”(‘，“)(J(‘)一f(“))‘ 工，V七f令G(x，刃表示马尔可夫链(X‘)由示序列{f(X。)}上穿【a，司的次数。则对任意a<b，有x出发到达y的平均次数，C(a，句表如果可逆马尔可夫链{X。}是暂留的，·(·，“·!C(一“，，三ZG‘一)恶(0 .0.5) 2001年，Z.Q，Chen，P.J.Fitzsimmons和R.Song【15}证明了一般对称右马尔可夫过程的一个上穿估计。设X是取值于E的不可约对称强马尔可夫过程，对称测度为m。设函数f:E什双属于X的Dirichlet空间，并且5 0 f(Xs)右连续护。一a.s二固

全文目录

Table of Contents  26-28
1 Preface  28-40
2 Martingale decomposition and FCLT  40-70
  2.1 Introduction  41-46
    2.1.1 Motivation and several known results  41-44
    2.1.2 A main result  44-46
  2.2 Discrete time case  46-56
    2.2.1 Some preliminary lemmas in the real valued case  46-48
    2.2.2 Forward-backward martingale decomposition for Hvalued additive functionals  48-56
  2.3 Continuous time case  56-61
  2.4 Quasi-symmetric case  61-66
  2.5 Proof of Theorem 2.1.1  66-70
3 Cross-estimate and tightness  70-84
  3.1 Introduction  70-71
  3.2 Cross-estimate  71-79
  3.3 Tightness result  79-81
  3.4 Example  81-84
4 Large deviations  84-114
  4.1 Introduction  84-88
  4.2 Main result  88-95
    4.2.1 Notations and Donsker-Varadhan's entropies  88-93
    4.2.2 Main result for countable Markov chains  93-95
  4.3 Weak upper bound  95-104
    4.3.1 Preparation  97-100
    4.3.2 Proof of Theorem 4.3.1  100-104
  4.4 Lower bound  104-114
    4.4.1 Step 1 for the proof of (4.4.1):general E  105
    4.4.2 Step 2 for the proof of (4.4.1):general E  105-110
    4.4.3 Step 3 for the proof of (4.4.1):countable E  110-114
5 Representation of additive functionals for jump Markov process  114-126
  5.1 Introduction  114-119
  5.2 Representations of AF and Local Time  119-122
  5.3 Uniformly Functional Moderate Deviations for Additive Functional of q-process  122-126
Bibliography  126-137

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