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关于分布混沌的研究

作　者: 宋威
导　师: 廖公夫
学　校: 吉林大学
专　业: 基础数学
关键词: 分布混沌 Lebesgue测度 区间映射 测度中心 连续映射 紧致度量空间 唯一遍历 紧度量空间 子转移 连续自映射
分类号: O415.5
类　型: 博士论文
年　份: 2004年
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内容摘要


自从1975年，Li-Yorke首次用严格的数学语言给出“混沌”的定义以来，这个定义被人们广泛地应用于各种紧致系统的研究当中，称紧度量空间（X，d）上的连续自映射f是Li-Yorke混沌的，即存在一个不可数集合D，使得D中的任何不同的两点x，y满足， lim inf n→∞d（fn（x）,fn（y））=0， lim sup n→∞ d（fn（x），fn（y））＞0，其中d（·，·）表示两点之间的距离。 1994年Schweizer和Smftal用两点对应轨道的距离的分布函数给出了如下的分布混沌定义，设（X，d）是紧致度量空间，f：X→X连续，如果存在集合DM（?）X，使得D中任何不同的两点x，y满足 （1）存在ε＞0，使得 Fxy（ε）=lim inf n→∞ 1/n sum from j=1 to n （χ[0,ε）（d（fj（x）,fj（y）））)=0； （2）对（?）ε＞0， Fxy*（ε）=lim sup n→∞ 1/n sum from j=1 to n（χ[0,t）（d（fj（x）,fj（y）））)=1。则称f在X上是分布混沌的，x，y称之为f的分布混沌点对。关于分布混沌的研究 为了研究Li一Yorke混沌与分布混沌的内在联系，杜凤芝、王立冬、盖云英提出了按序列分布混沌的概念.设（X，d）是紧致度量空间，f:X升X连续，如果存在不可数集合D CX和正整数序列{马}界1，使得D中任何不同的两点二，刀满足 （1）存在:>0，使得G一f目二 沙、，一im inf生艺、:。，‘)（d（了”!（x），f”7（、）））一o;J=1（2）对V:>o，G戛，（E）==lim、up王几斗con艺、:。，‘)（d（f”J（二），了”J（、）））一17=l则称f在X上是按序列{p，}界，分布混沌的·他们还指出区间映射是Li一Yorke混沌的当且仅当它是按某序列分布混沌的.而廖公夫、范钦杰指出对限制在测度中心上的区间映射来讲Li一Yorke混沌与分布混沌等价.我们自然会提出这样的问题，对一般的系统而言，在测度中心上，按序列分布混沌与分布混沌是否等价? 由Li一Yorke的定义可知，任何Li一Yorke混沌映射的混沌集合必不可数.从基数的观点来看Li一Yorke混沌集合是一个很大的集合，而从其他的观点来看（比如拓扑观点，测度观点），它可能是很小的集合，因此从各种不同的观点判定混沌集合的大小是必要的.Slnf七al指出区间上存在具有完全Lebesgue外测度的Li一Yorke混沌集合的连续映射.Smital，I.Kan构造了区间上具有正Lebesgue测度的Li一YOrke混沌集合的连续映射.Misiurewiez，Bruekller等构造了区间上具有完全Lebesgue测度的Li一Yorke混沌集合的连续映射.Hisao.Kat，o构造了11维方体上具有完全Lebesgue测度的Li一Yorke混沌集合的连续映射.关干分布混沌的研宛 由此，我们不禁要问如果将上述结果中的Li一Yorke混沌替换为分布混沌，是否也存在相应的结果.结合Li一Yorke混沌层次的观点，我们不禁要问是否存在在测度中心以外有正LeI>eSgll(3测度的分布混沌集合的区间映射?是否存在在测度中心上有正Leloe吧，;e测度的分布混沌集合的区间映射?是否存在在几乎周期点集合中有正Lebe、gue测度的分布混沌集合的区间映射?是否存在在几乎周期点集合中有完全Lebesgue测度的分布混沌集合的区问映射?是否存在在测度中心中有完全Lebesglle测度的分布混沌集合的区间映射? 本文的主要结果如下: 卜一单边符号空间的转移映射存在是按序列分布混沌但不是分布混沌的极小子转移，并且该子转移具有零拓扑嫡并且是唯一遍历的.该结果说明在测度中心上按序列分布混沌与分布混沌不等价.并且说明零拓扑嫡和唯一遍历的系统可以发生按序列分布混沌. 2.存在具有由游荡点构成的且Lebesglle测度为正的分布混沌集合的区间映射.该结果说明区间上的连续映射的分布混沌集合的Lebesglle测度可以为正. 3.存在具有由几乎周期点构成的且Lebesgue测度为正的分布混沌集合的区间映射，区间映射的由几乎周期点构成的分布混沌集合的I，ehe嗯1*测度不可能是完全的（即分布混沌集合的Lebesgue测度不可能与整个区间的Lebe、gue测度相同）. 4.存在具有完全Lebesglle测度分布混沌集合的区间映射，并且该分布混沌集合中的点都是回复点. 一公开发表的文献证明了存在具有完全Lebesgue测度的分布混沌集合的区间映射，经仔细分析该分布混沌集合中的每个点都是几乎周期点，这与我们的结果3矛盾.因此如果我们的结果3成立，那么该文献中一定是存在着推理上的错误.结果4可以说明存在具有完全Lebesgue测度的分布混沌集合的区间映射.

全文目录


前言  7-11
第一章 紧致系统和遍历性  11-19
  1.1 动力系统  11-15
  1.2 符号动力系统  15-17
  1.3 遍历性和测度中心  17-19
第二章 分布混沌和按序列分布混沌  19-33
  2.1 概念  19-21
  2.2 混沌的极小子转移  21-26
  2.3 零熵性和唯一遍历性  26-33
第三章 具有正Lebesgue测度的分布混沌集合的映射  33-40
  3.1 特殊映射  33-36
  3.2 Cantor-集合  36-38
  3.3 区间映射  38-40
第四章 发生在几乎周期点集中的分布混沌  40-48
  4.1 分布混沌的极小子转移  41-44
  4.2 区间映射  44-46
  4.3 非完全性  46-48
第五章 几乎处处分布混沌  48-57
  5.1 转移自映射σ的分布混沌集合  48-50
  5.2 帐篷映射  50-53
  5.3 区间映射  53-57
参考文献  57-59
攻博期间发表的学术论文  59-60
中文摘要  60-63
英文摘要  63-68
致谢  68

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中图分类: > 数理科学和化学 > 物理学 > 理论物理学 > 非线性物理学 > 混沌理论
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