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量子Schubert函子以及量子线性群的上同调

作　者: 胡峻
导　师: 王建磐
学　校: 华东师范大学
专　业: 基础数学
关键词: 量子线性群上同调函子量子群量子包络代数表达式函数代数代数同构既约单位根
分类号: O413.1
类　型: 博士论文
年　份: 2000年
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内容摘要

量子群是近年来一个比较热门的课题。它包括两个不同的部分，一个是Drinfel’d与Jimbo在1985年引入的量子包络代数，另一个是Yu.I.Manin、S.L. Woronowicz引入的量子函数代数。在这篇论文中我们讨论Yu.I.Manin在[35]中引入的A型的量子函数代数(即量子线性群)。我们第一部分的工作旨在去掉在A型量子群的表示中(无论是量子包络代数设置下Anderson，Polo and Wen工作中，还是量子线性群设置下Parshall与王建磐工作中)出现的对K与g的限制。我们在这里建立并使用的工具是量子Schubert函子。利用双行列式基，我们建立起关于量子Schubert函子一套令人满意的理论并用来解决上述问题。现在我来叙述一下这篇论文第一部分的结果。对的任何一个既约表达式定义：我们有(见§3．1) (3．1．4)定理．(1)H_σ~O独立于的既约表达式的选取。 (2)设σ，σ′是的两个既约表达式。对任何B_q~--模V，下图交换。这里右边的同构是由(1)给出。上面的定理保证量子Schubert函子H_w~O是可以定义的。并且与从函子H_W~O(-)到函子H_w~O(-)的自然变换相容。固定最长元的一个既约表达式如下：注意到我们把这个既约表达式分成了n-1个部分。对1≤k≤N(=n(n-1)/2)，记为上述既约表达式的最后k个部分的乘积。我们的主要结果是(见§3.1)（3．1．6）命题．设I三k三N．若上述既约表达式。。包含在。）0的那个既约表达式的最后。一。－互但不是n一。一2部分中．对人EW几）”，用民。表示型／的半标准表使得对1三i三。，。只出现在第兄行．而第m十1行取值于卜。十1。，。。十2．、，ik干川．那么川典范映射o氏：H（）＋＊朴）是满射· 切而且，凡。是同构．沼＞之刀．①）叶11Tnls三】乙》是＊亏入＞的一组基．门）特月小h～m；m川T是型／的半标准表）是旷0V的一组基＼一／’””】一叮＼一”‘’多“—一且””一仰 Ch（H三朴》二A方力＊…OA8小闪）；4里A。表示第6个Dema＊ure算子请注意定理中所给出的这组基即使在经典的情形也是新的．有了这些结果；我们就可以导出GL川。的几乎所有的标准同调性质，如 Grothendieck消失定理，KemPf消失定理以及Dema川rP特征标公式．并且从Kelnpf消失定理我们可以获得当q不是单位根时的BorelB。ti－Wed定理以及当q是一个本原l次单位椰其中l任意）时关于小支配权的Borel－Bottweil定理，继而给出当q不是单位根时的完全可约性定理的证明．本论文第二部分主要研究无穷小量于线性群的系数在平凡余模K中的上同调．在那里我们假设char K一0，并凤q是一个本原Z次单位根，其中7是奇数满足Z＞。。我们的第一个主要结果是巧·2·3）定理·H加＊尸卜．K）一0，并且存在分次B－代数同构 r＊《D小；K）生K卜．这里 n是 B 6j Lie代数中伴随幂零元全体我们的第二个主要结果是（5．2．4）定理．Hd）Gqh；K）－0；并且存在分次 G－代数同构 p＊（p小；叫芒KH．这里／（称作幂零锥）是＊的Li，代数中的伴随幂零元全体．定理的整个证明是完全自包含的，并且．不用到量子线性群理论以外的结论在我们的证明过程中；对余伴随Tq－作用作了深入的研究·其中一个重要的结果见定理6二·8·并巳我们自然地引出了一类q－多项式余代数，它是经典多项式余代数的变形．这也是作者首次发现的．对于这一类q－多项式余代数，我们决定了（见定理6．3山系数在它的平凡余模K中的上同调有了定理5．2．3与定理5、2，4以后，我们决定了（见定理7．2、6）所有非零的1yKB。）1，川．最后；我门也给出了（见定理8。1．1；8．3．2，8．3、朴一些结果旨在试图决定所有非零的H’（B。，入）．

全文目录

Introduction  8-12
PartⅠ． Quantum Schubert Functors  12-45
  1． Preliminaries  13-16
    1．1． Quantum GL_n and Its Closed Subgroups  13-14
    1．2． Induction Functor  14-16
  2． Representations of SL_（2,q）  16-20
    2．1． Representations of SL_（2,q）  16-18
    2．2． Induction to Minimal Parabolic Subgroups  18-20
  3． Quantum Schubert Functors  20-41
    3．1． Bideterminant  20-22
    3．2． Relations with Representations of SL_（n,q）  22-27
    3．3． Proof of Two Lemmas  27-30
    3．4． The Main Results  30-33
    3．5． Braid Relations  33-39
    3．6． Concluding Remark  39-41
  4． Homological Properties of Quantum GL_n  41-45
    4．1． Vanishing Theorem  41-43
    4．2． Borel-Bott-Weil Theorem  43-45
PartⅡ． Cohomology of Quantum Linear Groups  45-80
  5． Preliminaries  46-50
    5．1 Quantum Frobenius Morphism  46-47
    5．2 Comodule Cohomology Revisited  47-50
  6． Cohomology of q-Polynomial Coalgebras  50-67
    6．1． Coadjoint T_q-Action  50-55
    6．2． Rank 1 Case  55-60
    6．3． General Cases  60-67
  7． Cohomology of Infinitesimal Quantum Linear Groups  67-75
    7．1． T_q-Structure of （B_q）_1-Cohomology  67-69
    7．2． The （B_q）_1-Cohomology  69-73
    7．3． The （G_q）_1-Cohomology  73-75
  8． The B_q-Cohomology  75-80
    8．1． The B_q-Cohomology  75
    8．2． The Socle of R~1 Ind_（B_q~-）~（G_q）λ  75-78
    8．3． H~j（B_q,λ） for j ≤2  78-80
References  80-81

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