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求解非线性方程组的若干迭代算法之研究

作　者: 武敏
导　师: 王兴华
学　校: 浙江大学
专　业: 计算数学
关键词: Banach空间非线性方程组 Newton法不精确Newton法 Newton-like方法弱Lipschitz条件半局部收敛性
分类号: O241.6
类　型: 博士论文
年　份: 2008年
下　载: 640次
引　用: 1次
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内容摘要

本文主要研究Banach空间内求解非线性方程组f（x）=0的理论分析问题，特别是对Newton法，不精确Newton法（inexact Newton method），Newton-like方法的局部收敛性和半局部收敛性进行了详细的讨论，并给出新的结果。Newton法是用来求解非线性方程组常用的办法。因为在初始近似足够好的情形下，Newton序列能快速地收敛到方程的根，而且计算时每步计算只与前一步有关，误差不传播，是自校正的，在理论和实际应用上都是一种重要的方法，为很多数值工作者所青睐。而自Newton法提出以来，关于Newton法的理论分析一直都没停止过，涌现出大量的成果，主要包括Newton法的局部收敛性定理，特别是收敛球与唯一性球半径的研究；Newton法的半局部收敛定理，特别是Mysovskii型定理和Kantorovich型定理的发展；以及Newton法的全局收敛性定理等。其中，Kantorovich定理以其典型的条件，确切的结果成为研究Newton法半局部收敛性的典范。在对其条件结论的种种改进发展中，Wang（[13]）中给出的Newton法的半局部收敛性定理有很强的概括性，它将Kantorovich型条件和Smale型条件统一起来。这里我们给出这个结果新的应用，可以推出Argyros（[14]）中给出的含f的m阶导数信息的半局部收敛性定理（即定理2．1．3），并对其结果进行改进。定理0．1若f满足Argyros（[14]）定理的条件：（4）p₂（s）≤0，这里p₂（r）定义如下：这里s是p’₂（r）的一个根。那么f满足Wang（[13]）定理的条件：（Ⅱ）对任意的x∈S（x₀，δ）和x’∈S（x,δ-ρ（x））有（Ⅲ）令δ₀满足∫₀^δ₀L（u）du=1且b=∫₀^δ₀L（u）udu。假设（Ⅲ）t^*≤δ，这里t^*是h（t）较小的正根，由于Newton法每步都需要解一个线性方程组f’（x_k）△_k=-f（x_k）（通常称为Newton方程组），在未知量比较多的情况下，若用消去法等直接方法求其精确解，计算代价是十分高的。正是出于此原因，Dembo-Eisenstat-Steihaug（[59]）提出求Newton方程组的近似解（例如用迭代法求解该方程组），即称之为不精确Newton法（inexact Newton method）。我们在介绍了该方法已有的局部收敛性以及半局部收敛性结果后，给出f’在满足弱条件下不精确Newton法的Kantorovich型收敛性定理，并在余项r_k≡0的情况下得到关于Newton法的著名的半局部收敛性定理。定理0．2假设f：D（?）X→Y在S（x₀，δ）（?）D上Fréchet可微，x₀∈D为给定的初始近似且f’（x₀）^-1存在。令L（u）是[0，δ]上正的非降函数，ρ（x）=‖x-x₀‖，ρ（xx’）=ρ（x）+‖x’-x‖≤δ。假定f’（x₀）^-1f’满足关于L平均的内切球中心Lipschitz条件，即对0<η₀<1／2以及η_k<2η₀，余项r_k满足假定s₀≤b且这里σ_k：=α_k/（1-η_kα_k），v_k：=σ_k+1／σ_k。以及这里δ₀满足∫₀^δ₀L（u）du=1-2η₀，b=∫₀^δ₀uL（u）du／（1-η₀），t₀^*是φ₀（t）的最小正根，那么，不精确Newton序列{x_k}（k≥0）保留在S（x₀,t₀^*）内且收敛于f（x）=0的一个根x^*。在求解Newton方程组时，有时f’（x_k）的计算较为困难，为了降低计算代价，我们通常用可逆算子A（x_k）来逼近它，这就是Newton-like方法我们对Newton-like方法的局部收敛行为和半局部收敛性行为进行讨论，给出弱条件下Newton-like的半局部收敛性定理，并给出相应的推论。定理0．3令f：D（?）X→Y在S（x₀，r）（?）D上Fréchet可微，A（x）是f’（x）的一个近似。假定存在初始近似x₀∈S（x₀，r₀）（其中r₀∈[0，r]）使得A（x₀）非奇异，对任意x∈S（x₀，r）及任意x’∈S（x,r-ρ（x））满足假设下列条件成立：（Ⅰ）存在非负常数s₀，α，β以及0≤u₀<1，使得下面关系式成立：以及（Ⅱ）对某个a≥max{1，α+β}，下面式子均成立：（Ⅲ）S（x₀,t^*）（?）S（x₀r₀），这里t^*是φ（t）的最小正根，φ（t）定义如下：那么，Newton-like序列{x_k}（k≥0）保留在S（x₀,t^*）内，并收敛于f（x）=0的一个解x^*。

全文目录

致谢  5-6
摘要  6-10
Abstract  10-14
目录  14-17
第一章绪论  17-23
  1.1 研究背景及其现状  17-21
  1.2 论文的组织  21-23
第二章 Newton法收敛性的一些结果  23-41
  2.1 Newton迭代的理论分析  23-30
    2.1.1 迭代分析的基本问题  23-24
    2.1.2 Newton法的局部收敛性  24-25
    2.1.3 Kantorovich定理及其发展  25-28
    2.1.4 关于弱条件的相关说明([41],[42])  28-30
  2.2 主要结果  30-36
    2.2.1 Lipschitz条件的推广  30-31
    2.2.2 主要结论及其证明  31-35
    2.2.3 进一步讨论  35-36
  2.3 关于Newton迭代的其它半局部收敛定理  36-38
  2.4 Newton法局部行为的进一步讨论  38-41
第三章不精确Newton法的收敛性讨论  41-65
  3.1 不精确Newton法的局部收敛性  41-46
    3.1.1 相关定义  41-42
    3.1.2 局部收敛性  42-44
    3.1.3 余项和收敛阶  44-46
  3.2 控制序列的选择  46-48
    3.2.1 控制序列的作用  46
    3.2.2 常用的选取方法  46-48
  3.3 不精确Newton法的半局部收敛性的一些结论  48-52
    3.3.1 Mysovskii型收敛性定理  48-51
    3.3.2 Kantorovich型收敛性定理的一些结果  51-52
  3.4 弱条件下不精确Newton法的半局部收敛性定理  52-59
    3.4.1 预备知识  52-55
    3.4.2 主要结果概述  55
    3.4.3 定理证明  55-58
    3.4.4 两个推论  58-59
  3.5 不精确Newton法和拟Newton法  59-65
    3.5.1 拟Newton法的提出  59-60
    3.5.2 拟Newton法相关收敛性定理  60-61
    3.5.3 不精确Newton法和拟Newton法等价  61-65
第四章 Newton-like方法的收敛性讨论  65-79
  4.1 Newton-like法的提出及局部收敛性结果  65-68
  4.2 Newton-like法的半局部收敛行为  68-70
    4.2.1 Newton-like法的Mysovskii型收敛性定理  68-69
    4.2.2 Newton-like法的Kantorovich型收敛性定理  69-70
  4.3 弱条件下Newton-like法的半局部收敛性定理  70-75
    4.3.1 主要结果概述  70-71
    4.3.2 定理证明  71-74
    4.3.3 主要推论  74-75
  4.4 关于收敛性的进一步讨论  75-79
参考文献  79-89
附录:优函数和优序列  89-95
简历  95-96
发表文章目录  96

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