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特殊函数恒等式

作　者: 孙慧
导　师: 陈永川
学　校: 南开大学
专　业: 应用数学
关键词: 特殊函数 Zeilberger算法 q指数算子齐次q移位算子 theta分解
分类号: O174.6
类　型: 博士论文
年　份: 2009年
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内容摘要

本文的主要结果是关于几类特殊函数恒等式的证明和推导的新方法,包括利用Zeilberger算法的推广实现包含Bernoulli多项式和Euler多项式的恒等式的机器证明;利用q算子得到与经典正交多项式理论有密切关系的二元Rogers-Szeg(o|¨)多项式满足的多项公式;利用泛函数迭代法证明theta函数恒等式,并提出了theta分解的概念以推导新的theta函数恒等式。第一章简要介绍了与证明特殊函数恒等式的主要方法相关的背景知识,包括Zeilberger算法及其推广,q差分算子,邻接关系和theta函数。另外,我们还简要介绍了本文中用到的基本定义和记号。在第二章中,基于Paule给出的Zeilberger算法的推广,我们提出了包含Bernoulli多项式和Euler多项式的恒等式的机器证明方法。其核心思想是利用Bernoulli数和Euler数的围线积分定义,将含有Bernoulli数、Euler数、Bernoulli多项式或Euler多项式的恒等式转化为具有超几何积分项的积分等式。然后利用推广的Zeilberger算法即可得到积分项满足的递推关系,并且这种递推关系具有特定的参数无关性,使得不用计算积分就可以直接得到原等式满足的递推关系。此外,我们还得到了包含Bernoulli数的新等式。在第三章中,我们利用算子的方法,得到了二元Rogers-Szeg(o|¨)多项式h_n(x,y|q)的Mehler公式和Rogers公式。我们给出的Mehler公式的证明可以视为Askey,Rahman和Suslov给出的连续型大q-Hermite多项式H_n(x,a|q)的非对称泊松核公式的新证明。基于q指数算子和二元齐次q移位算子的参数扩充技巧,我们推出h_n(z,y|q)的Mehler公式包含一个3φ2和式,Rogers公式包含一个2φ1和式。另外,我们进一步推广了关于Rogers-Szeg(o|¨)多项式h_n(x;a|q)的结果,得到了h_n(x,y|q)的另一个Rogers类型的公式。最后,我们给出了H_n(x;a|q)的一个基变换公式,并结合Askey-Wilson积分计算得到了一些新的积分等式。在第四章中,我们推广了Jacobi三重积恒等式的泛函数迭代法证明,提出了基于邻接关系和初始系数证明一般theta函数恒等式的泛函数迭代法。其中,theta函数满足的两项邻接关系可以直接计算得到,而初始系数个数的确定则有赖于theta函数的维数。利用该方法,我们证明了五重积恒等式、七重积恒等式、Riemann加和公式等著名恒等式。进一步,为了推导新的恒等式,我们引入了theta分解的概念,说明了给定邻接关系的theta函数解空间可以转化为域K(q)上的有限维向量空间。通过研究向量之间的线性相关性即可得到新的theta函数恒等式。

全文目录

摘要  5-7
Abstract  7-9
Table of Contents  9-11
1 Introduction  11-21
  1.1 Introduction  11-12
  1.2 Zeilberger's algorithm and its extensions  12-16
  1.3 q-Difference operators  16-18
  1.4 Contiguous relations and theta functions  18-21
2 Extended Zeilberger's Algorithm for Identities on Bernoulli and Euler Polynomials  21-45
  2.1 Introduction  21-23
  2.2 The main method  23-27
  2.3 Bernoulli number identities  27-33
  2.4 Bernoulli polynomial identities  33-38
  2.5 Euler number and polynomial identities  38-41
  2.6 Deriving new identities  41-44
  2.7 Concluding remarks  44-45
3 The Bivariate Rogers-Szeg(o|¨) Polynomials  45-61
  3.1 Introduction  45-49
  3.2 Mehler's formula for h_n(x,y|q)  49-51
  3.3 The Rogers formula for h_n(x,y|q)  51-56
  3.4 A change of base formula for H_n(x;a|q)  56-61
4 Theta Decompositions and Theta Function Identities  61-93
  4.1 Introduction  61-64
  4.2 The quintuple product identity  64-69
  4.3 The septuple product identity  69-73
  4.4 The multiple theta function identities  73-79
  4.5 The addition formulae for theta functions  79-85
  4.6 Deducing new multiple theta function identities  85-93
Bibliography  93-103
致谢  103-105
个人简历在学期间发表的学术论文与研究成果  105

特殊函数恒等式

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