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某些环的K_0群及REFINEMENT环与可比性

作　者: 黄朝凌
导　师: 朱晓胜
学　校: 南京大学
专　业: 基础数学
关键词: π-正则环可比性 finitely 有限生成 K0 REFINEMENT 自同态环 rings regular 非零理想充要条件单位元幂零元投射模矩阵环商环 strongly submodule summand 结合环
分类号: O153.3
类　型: 博士论文
年　份: 2011年
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内容摘要

在本文中,我们首先研究了abelian exchange环的Grothendieck群。引进了refinement环和模的概念并且研究了它们的性质。同时,我们也研究了refinement环的可比性以及正则环的可比性与excellent扩张的关系。最后我们考虑了没有单位元的强π-正则环。在第二章中,设R是一个有单位元的结合环,S(R)是由中心幂等元生成的非零真理想构成的集合。如果P是S(R)中的极大元,则称商环R／P是环R的Pierce茎。设(?)(R)={P∈S(R)│R／P是环R的Pierce茎}.我们首先指出(?)(R)是一个具有Zariski拓扑的紧空间。最后我们给出了abelian exchange环的Grothendieck群的一个刻画,即存在保序的群同构(K0(R),[R])(?)((?)(R),u),这里(?)(R)等于{f：(?)(R)→z|f是连续的}.在第三章中,对于任意给定的环R及其理想I,我们考虑了R的refinement性质和理想I及商环R/I的refinement性质之间的关系。我们证明了有限生成模是refinement模的充要条件是它的自同态环是refinement环。我们还对refinement环和refinement模的可分性质做了一些相应的研究。众所周知任意一个exchange环R都具有以下性质：(1)设I为R的理想,对任意一个有限生成投射R/I模M’,都存在一个有限生成投射R模M满足R/I(?)R M(?)M’,对于这种性质我们称之为有限生成投射R/I模可提升。(2)对于有限生成投射R模A,B满足A/IA(?)B/IB,总存在模A,B的分解A=A1(?)A2和B=B1(?)B2满足A1(?)B1,A2=IA2,B2=IB2.我们指出存在不是exchange环的环具有这些性质。设R是refinement环,I是它的非零理想,我们证明了如果R具有这些性质,则R/I和I具有refinement性质。当理想I是左T-nilpotent的Jaco-bson根J(R)时,如果R满足上面的条件(1),则R／J(R)是refinement环的充要条件是R为re-finement环。同时我们也证明了：如果R是一个refinement环,I是它的非零理想,当R具有上述两条性质时,则R是可分的充要条件是I和R/I是可分的。我们知道在正则环的理论发展过程中,可比性是很重要的。在第四章中,我们研究了refineme-nt环的可比性。设R是refinement环,如果每个有限生成投射模都有非零的循环子模作为它的直和项,则以下各点是等价的：(1)R满足几乎比较性；(2)对于每个有限生成投射模P,其自同态环EndR(P)满足几乎可比性；(3)与R Morita等价的环S满足几乎可比性；(4)对于每个正整数n,矩阵环Mn(R)满足几乎可比性；(5)对于某个正整数n,矩阵环Mn(R)满足几乎可比性。在第五章中,设S是正则环R的excellent扩张。我们研究了环S和R可比性的一致性,得到：如果R具有n-unperforation性质,则S具有s-可比性(几乎可比性或者弱可比性)的充分必要条件是R具有s-可比性(几乎可比性或者弱可比性)。在第六章中,我们称一个没有单位元的环Ⅰ是强π-正则的,如果对于每个元χ,都存在一个元y和一个正整数n满足χn=χn+1y。我们给出了它的一些刻画。设Ⅰ是没有单位元的abelian环,则I是强π-正则环的充要条件是N(I)=J(R)∩I,I/N(I)是正则的,这里R是I的单位化环,N(I)是I的幂零元构成的集合,J(R)是R的Jacobson根。设(I,J,M,N,φ,ψ)是具有零对的Morita context,T是Morita context环。则T是具有有界幂零指标的强π-正则环的充要条件是I和J具有有界幂零指标的强π-正则环。

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